UNE vecteur dans l & # 39; espace tout le monde est-il représenté par un système de coordonnées donné par X, Oui Oui z. Presque toujours l'avion xy est le plan de la surface horizontale et de l'axe z représente la hauteur (ou la profondeur).
Les axes de coordonnées cartésiennes illustrés dans la figure 1 divisent l'espace en 8 régions appelées octants, analogue à la façon dont les axes X - Oui divisez le plan en 4 quadrants. On aura alors le 1er octant, le 2ème octant et ainsi de suite.
La figure 1 contient une représentation d'un vecteur v dans l'espace. Une certaine perspective est nécessaire pour créer l'illusion de trois dimensions sur le plan de l'écran, ce qui est obtenu en dessinant une vue oblique.
Pour tracer un vecteur 3D, utilisez les lignes pointillées qui déterminent sur la grille les coordonnées de la projection ou «ombre» de v Sur la surface x-y. Cette projection commence en O et se termine au point vert.
Une fois sur place, il faut continuer le long de la verticale jusqu'à la hauteur (ou profondeur) nécessaire en fonction de la valeur de z, jusqu'à atteindre P. Le vecteur est dessiné à partir de O et se terminant à P, qui dans l'exemple est dans le 1er octant.
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Les vecteurs dans l'espace sont largement utilisés en mécanique et dans d'autres branches de la physique et de l'ingénierie, car les structures qui nous entourent nécessitent une géométrie en trois dimensions..
Les vecteurs de position dans l'espace sont utilisés pour positionner des objets par rapport à un point de référence appelé Origine O. Par conséquent, ce sont également des outils nécessaires à la navigation, mais ce n'est pas tout.
Les forces agissant sur les structures telles que les boulons, les supports, les câbles, les entretoises, etc. sont de nature vectorielle et orientées dans l'espace. Afin de connaître son effet, il faut connaître son adresse (et aussi son point d'application).
Et souvent la direction d'une force est connue en connaissant deux points dans l'espace qui appartiennent à sa ligne d'action. De cette façon, la force est:
F = F ou alors
Où F est la grandeur ou le module de la force et ou alors est le vecteur unitaire (de module 1) dirigé le long de la ligne d'action de F.
Avant de procéder à la résolution de quelques exemples, nous passerons brièvement en revue la notation vectorielle 3D.
Dans l'exemple de la figure 1, le vecteur v, dont le point d'origine coïncide avec l'origine O et dont l'extrémité est le point P, a des coordonnées X Oui z positif, tandis que la coordonnée Oui est négatif. Ces coordonnées sont: X1, Oui1, z1, qui sont précisément les coordonnées de P.
Donc si nous avons un vecteur lié à l'origine, c'est-à-dire dont le point de départ coïncide avec O, il est très facile d'indiquer ses coordonnées, qui seront celles du point extrême ou P. Pour distinguer un point et un vecteur, nous utiliserons jusqu'aux dernières lettres et crochets en gras, comme ceci:
v = < x1, Oui1, z1 >
Alors que le point P est noté entre parenthèses:
P = (x1, Oui1, z1)
Une autre représentation utilise des vecteurs unitaires je, j Oui k qui définissent les trois directions de l'espace sur les axes X, Oui Oui z respectivement.
Ces vecteurs sont perpendiculaires les uns aux autres et forment un base orthonormée (voir figure 2). Cela signifie qu'un vecteur 3D peut être écrit en fonction d'eux comme suit:
v = vX je + vOui j + vz k
La figure 2 montre également les angles directeurs γ1, γdeux et γ3 que le vecteur v fait respectivement avec les axes X, Oui Oui z. Connaissant ces angles et la magnitude du vecteur, il est complètement déterminé. De plus, les cosinus des angles directeurs rencontrent la relation suivante:
(cos γ1)deux + (cos γdeux)deux + (cos γ3)deux = 1
Dans la figure 2 les angles γ1, γdeux et γ3 que le vecteur v de forme module 50 avec les axes de coordonnées sont respectivement: 75.0º, 60.0º et 34.3º. Trouvez les composantes cartésiennes de ce vecteur et représentez-le en termes de vecteurs unitaires je, j Oui k.
Projection vectorielle v sur l'axe X c'est vX = 50. cos 75º = 12 941. De même, la projection de v sur l'axe Oui c'est vOui = 50 cos 60 º = 25 et enfin sur l'axe z c'est vz = 50. cos 34,3º = 41,3. À présent v peut être exprimé comme:
v = 12,9 je + 25,0 j + 41,3 k
Trouvez les tensions dans chacun des câbles qui maintiennent le godet dans la figure qui est en équilibre, si son poids est de 30 N.
Sur le godet, le diagramme du corps libre indique que Tré (vert) compense le poids W (jaune), donc Tré = W = 30 N.
Dans le nœud, le vecteur Tré est dirigé verticalement vers le bas, puis:
Tré = 30 (-k) N.
Pour établir les tensions restantes, procédez comme suit:
A = (4.5,0,3) (A est sur le plan du mur x-z)
B = (1,5,0,0) (B est sur l'axe des x)
C = (0, 2,5, 3) (C est sur le plan du mur et Z)
D = (1,5, 1,5, 0) (D est sur le plan horizontal x-y)
DONNE = <3; -1.5; 3>
DC = <-1.5; 1; 3>
DB = <0; -1.5 ; 0>
Un vecteur unitaire est obtenu par l'expression: ou alors = r / r, avec r (en gras) étant le vecteur et r (non en gras) étant le module dudit vecteur.
DA = (3deux + (-1,5)deux + 3deux)½ = 4,5; DC = ((-1,5) deux + 1deux + 3deux)½ = 3,5
ou alorsDONNE = <3; -1.5; 3>4,5 = <0.67 ; -0.33 ; 0.67>
ou alorsDC = <-1.5; 1; 3>3,5 = <-0.43; 0.29; 0.86>
ou alorsDB = <0; -1; 0>
ou alorsré = <0; 0; -1>
TDONNE = TDONNE ou alorsDONNE = TDONNE<0.67 ; -0.33 ; 0.67>
TDC = TDC ou alorsDC = TDC <-0.43; 0.29; 0.86>
TDB = TDB ou alorsDB = TDB <0; -1; 0>
Tré = 30 <0; 0; -1>
Enfin, la condition d'équilibre statique est appliquée au godet, de sorte que la somme vectorielle de toutes les forces sur le nœud soit nulle:
TDONNE + TDC + TDB + Tré = 0
Puisque les contraintes sont dans l'espace, il en résultera un système de trois équations pour chaque composante (X, et et z) des tensions.
0,67 TDONNE -0,43 TDC + 0 TDB = 0
-0,33 TDONNE + 0,29 TDC - TDB = 0
0,67 TDONNE + 0,86 TDC +0 TDB - 30 = 0
La solution est: TDONNE = 14,9 N; TDONNE = 23,3 N; TDB = 1,82 N
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