La distribution binomiale est une distribution de probabilité par laquelle la probabilité d'occurrence d'événements est calculée, à condition qu'ils se produisent selon deux modalités: succès ou échec.
Ces désignations (succès ou échec) sont complètement arbitraires, car elles ne signifient pas nécessairement de bonnes ou de mauvaises choses. Au cours de cet article, nous indiquerons la forme mathématique de la distribution binomiale puis la signification de chaque terme sera expliquée en détail.
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L'équation est la suivante:
Avec x = 0, 1, 2, 3… .n, où:
- P (x) est la probabilité d'avoir exactement X succès entre n tentatives ou essais.
- X est la variable qui décrit le phénomène d'intérêt, correspondant au nombre de succès.
- n le nombre de tentatives
- p est la probabilité de succès en 1 tentative
- quelle est la probabilité d'échec en 1 tentative, donc q = 1 - p
Le point d'exclamation "!" est utilisé pour la notation factorielle, donc:
0! = 1
1! = 1
deux! = 2,1 = 2
3! = 3,2,1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
Et ainsi de suite.
La distribution binomiale est très appropriée pour décrire des situations dans lesquelles un événement se produit ou ne se produit pas. Si cela se produit, c'est un succès et sinon, c'est un échec. De plus, la probabilité de succès doit toujours rester constante..
Il y a des phénomènes qui remplissent ces conditions, par exemple le tirage au sort d'une pièce de monnaie. Dans ce cas, on peut dire que le «succès» prend un visage. La probabilité est de ½ et ne change pas, quel que soit le nombre de lancers de la pièce..
Le lancer d'un dé honnête est un autre bon exemple, ainsi que la catégorisation d'une certaine production en bonnes pièces et pièces défectueuses et l'obtention d'un rouge au lieu d'un noir lors de la rotation d'une roue de roulette..
Nous pouvons résumer les caractéristiques de la distribution binomiale comme suit:
- Tout événement ou observation est tiré d'une population infinie sans remplacement ou d'une population finie avec remplacement.
- Seules deux options mutuellement exclusives sont envisagées: succès ou échec, comme expliqué au début.
- La probabilité de succès doit être constante dans toute observation faite.
- Le résultat de tout événement est indépendant de tout autre événement.
- La moyenne de la distribution binomiale est n.p
- L'écart type est:
Prenons un événement simple, qui peut obtenir 2 têtes 5 en lançant un dé honnête 3 fois. Quelle est la probabilité qu'en 3 lancers 2 têtes sur 5 soient obtenues?
Il existe plusieurs façons d'y parvenir, par exemple:
- Les deux premiers rouleaux sont 5 et le dernier n'est pas.
- Le premier et le dernier sont 5 mais pas celui du milieu.
- Les deux derniers lancers sont 5 et le premier ne.
Prenons la première séquence décrite à titre d'exemple et calculons sa probabilité d'occurrence. La probabilité d'obtenir un 5 têtes sur le premier jet est de 1/6, et aussi sur le deuxième jet, car ce sont des événements indépendants.
La probabilité d'obtenir une autre tête autre que 5 au dernier jet est de 1 - 1/6 = 5/6. Par conséquent, la probabilité que cette séquence sorte est le produit des probabilités:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023
Qu'en est-il des deux autres séquences? Ils ont la même probabilité: 0,023.
Et puisque nous avons un total de 3 séquences réussies, la probabilité totale sera:
P (2 têtes 5 en 3 lancers) = Nombre de séquences possibles x probabilité d'une séquence particulière = 3 x 0,023 = 0,069.
Essayons maintenant le binôme, dans lequel c'est fait:
x = 2 (obtenir 2 têtes de 5 en 3 lancers est un succès)
n = 3
p = 1/6
q = 5/6
Il existe plusieurs façons de résoudre les exercices de distribution binomiale. Comme nous l'avons vu, le plus simple peut être résolu en comptant le nombre de séquences réussies, puis en multipliant par les probabilités respectives.
Cependant, quand il y a beaucoup d'options, les nombres deviennent plus grands et il est préférable d'utiliser la formule.
Et si les nombres sont encore plus élevés, il existe des tableaux de la distribution binomiale. Cependant, ils sont désormais obsolètes au profit des nombreux types de calculatrices qui facilitent le calcul..
Un couple a des enfants avec une probabilité de 0,25 d'avoir du sang de type O. Le couple a un total de 5 enfants. Réponse: a) Cette situation correspond-elle à une distribution binomiale? B) Quelle est la probabilité que exactement 2 d'entre eux soient de type O?
a) La distribution binomiale est ajustée, car elle remplit les conditions établies dans les sections précédentes. Il existe deux options: avoir du sang de type O est un «succès», ne pas l'avoir est un «échec», et toutes les observations sont indépendantes..
b) Nous avons la distribution binomiale:
x = 2 (obtenir 2 enfants avec du sang de type O)
n = 5
p = 0,25
q = 0,75
Une université affirme que 80% des étudiants de l'équipe collégiale de basketball obtiennent leur diplôme. Une enquête examine le dossier académique de 20 étudiants appartenant à ladite équipe de basket-ball qui se sont inscrits à l'université il y a quelque temps..
Sur ces 20 étudiants, 11 ont terminé leurs études et 9 ont abandonné.
Si l'affirmation de l'université est vraie, le nombre d'étudiants qui jouent au basket et obtiennent leur diplôme, sur 20, devrait avoir une distribution binomiale avec n = 20 Oui p = 0,8. Quelle est la probabilité qu'exactement 11 des 20 joueurs obtiennent leur diplôme??
Dans la distribution binomiale:
x = 11
n = 20
p = 0,8
q = 0,2
Les chercheurs ont mené une étude pour déterminer s'il y avait des différences significatives dans les taux d'obtention du diplôme entre les étudiants en médecine admis dans le cadre de programmes spéciaux et les étudiants en médecine admis selon les critères d'admission réguliers..
Le taux de diplomation était de 94% pour les étudiants en médecine admis dans le cadre de programmes spéciaux (d'après les données du Journal de l'American Medical Association).
Si 10 des étudiants des programmes spéciaux sont choisis au hasard, trouvez la probabilité qu'au moins 9 d'entre eux aient obtenu leur diplôme.
b) Serait-il inhabituel de sélectionner au hasard 10 étudiants de programmes spéciaux et de constater que seulement 7 d'entre eux ont obtenu leur diplôme??
La probabilité qu'un étudiant admis dans le cadre d'un programme spécial obtienne son diplôme est de 94/100 = 0,94. Sont choisis n = 10 étudiants de programmes spéciaux et vous souhaitez connaître la probabilité qu’au moins 9 d’entre eux obtiennent leur diplôme.
Les valeurs suivantes sont ensuite substituées dans la distribution binomiale:
x = 9
n = 10
p = 0,94
b)
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