Formule d'équations du deuxième degré, comment les résoudre, exemples, exercices

le équations quadratiques ou quadratiques et un inconnu a la forme hache^deux + bx + c = 0. Où a ≠ 0, puisque s'il était 0, l'équation serait transformée en une équation linéaire, et les coefficients a, b et c sont des nombres réels.

L'inconnue à déterminer est la valeur de x. Par exemple, l'équation 3x^deux - 5x + 2 = 0 est une équation quadratique complète.

Il existe également des variantes connues sous le nom d'équations incomplètes du second degré, qui ne possèdent aucun des termes, sauf celui de hache^deux. Voici quelques exemples:

X^deux - 25 = 0

3x^deux - 5x = 0

Al Juarismi, le célèbre mathématicien arabe de l'Antiquité, a décrit dans ses travaux divers types d'équations du premier et du deuxième degré, mais uniquement avec des coefficients positifs. Cependant, c'est le mathématicien français François Viete qui a introduit le premier des lettres pour symboliser les quantités et proposer la solution à travers la formule résolu:

C'est une formule générale qui permet de résoudre une équation quadratique, de trouver ses racines ou ses zéros, même si les solutions ne sont pas réelles. Il existe également d'autres moyens de les résoudre.

Index des articles

• 1 Comment résoudre des équations quadratiques?
  • 1.1 Résolution par affacturage
  • 1.2 Méthode graphique
  • 1.3 Résolution avec calculatrice scientifique
  • 1.4 Discriminant d'une équation quadratique
• 2 Exemples d'équations quadratiques simples
  • 2.1 Équation de la forme x2 + mx + n = 0
  • 2.2 Équation incomplète de la forme ax2 + c = 0
  • 2.3 Équation incomplète de la forme ax2 + bx = 0
  • 2.4 Équations avec dénominateur
  • 2.5 Équations d'ordre supérieur qui deviennent quadratiques
• 3 exercices simples résolus
  • 3.1 - Exercice 1
  • 3.2 - Exercice 2
  • 3.3 - Exercice 3
• 4 Références

Comment résoudre des équations quadratiques?

Les équations du deuxième degré peuvent être résolues par la formule donnée ci-dessus, et il existe également d'autres procédures algébriques qui peuvent donner des résultats dans certaines équations.

Nous allons résoudre l'équation proposée au début avec la formule, une méthode valide pour toute équation quadratique à une inconnue:

3x^deux - 5x + 2 = 0

Pour utiliser correctement la formule, nous notons que:

• à est le coefficient du terme avec x^deux
• b est le coefficient du terme linéaire
• c est le terme indépendant.

Nous allons les identifier à partir de la même équation:

a = 3

b = -5

c = 2

Notez que le signe qui accompagne le coefficient doit être pris en compte. Maintenant, nous substituons ces valeurs dans la formule:

Dans le numérateur, il y a le symbole «plus - moins» ±, qui indique que la quantité avec une racine peut être considérée comme positive et aussi comme négative. Une équation quadratique a au plus deux solutions réelles, et ce symbole en tient compte.

Appelons x₁ et x_deux à ces deux solutions, alors:

X₁ = (5 + 1) / 6 = 1

X_deux = (5-1) / 6 = 4/6 = 2/3

Résolution par affacturage

Certaines équations du deuxième degré sont constituées de trinômes facilement factorisables. Si tel est le cas, cette méthode est beaucoup plus rapide. Considérons l'équation:

X^deux + 7x - 18 = 0

La factorisation a cette forme:

(x +) ⋅ (x -)

Les espaces vides sont remplis de deux nombres qui, lorsqu'ils sont multipliés, donnent 18, et lorsqu'ils sont soustraits, donnent 7. Les signes entre parenthèses sont choisis avec ce critère:

-Dans la première parenthèse, le signe est placé entre le premier et le deuxième terme.

-Et dans la deuxième parenthèse se trouve le produit des signes que l'on voit.

Quant aux nombres, ils sont facilement notés dans ce cas: ils sont 9 et 2. Le plus grand est toujours placé dans la première des parenthèses, comme ceci:

X^deux + 7x - 18 = (x + 9). (x - 2)

Le lecteur peut vérifier au moyen de la propriété distributive, qu'en développant le produit du côté droit de l'égalité, on obtient le trinôme de la gauche. Maintenant, l'équation est réécrite:

(x + 9) ⋅ (x - 2) = 0

Pour que l'égalité soit remplie, il suffit que l'un des deux facteurs soit nul. Donc, dans le premier, vous devez faire x₁ = -9 ou il se peut que le deuxième facteur disparaisse, auquel cas x_deux = 2. Ce sont les solutions de l'équation.

Méthode graphique

Les racines ou solutions de l'équation quadratique correspondent aux intersections de la parabole y = hache^deux + bx + c avec l'axe horizontal ou l'axe x. Ainsi, lors de la représentation graphique de la parabole correspondante, nous trouverons la solution de l'équation quadratique en faisant y = 0.

Les coupes des paraboles avec l'axe horizontal représentent les solutions de l'équation hache^deux + bx + c = 0. Une parabole qui ne coupe l'axe horizontal qu'en un seul point a une seule racine et ce sera toujours le sommet de la parabole.

Et enfin, si une parabole ne coupe pas l'axe horizontal, l'équation correspondante hache^deux + bx + c = 0 manque de vraies solutions.

Construire un graphique à la main peut être laborieux, mais avec l'utilisation de programmes qui graphiques en ligne, c'est très simple.

Résolution avec calculatrice scientifique

De nombreux modèles de calculatrices scientifiques ont la possibilité de résoudre des équations quadratiques (et d'autres types d'équations également). Pour le savoir, il faut consulter le menu.

Une fois l'équation quadratique d'une option inconnue choisie, le menu demande de saisir les valeurs des coefficients a, b et c et renvoie les solutions réelles si elles existent. Et il existe également des modèles de calculatrices scientifiques qui travaillent avec des nombres complexes et offrent ces solutions.

Discriminant d'une équation quadratique

Pour savoir si l'équation a des solutions réelles ou non, et combien il y en a, sans avoir à résoudre d'abord, le discriminant Δ est défini comme la quantité sous la racine carrée:

Δ = b^deux - 4ac

Selon le signe du discriminant, on sait combien de solutions l'équation a selon ce critère:

-Deux solutions réelles: Δ> 0

-Une solution réelle (ou deux solutions identiques): Δ = 0

-Pas de vraie solution: Δ  < 0

Par exemple, combien de solutions l'équation quadratique -7x fait-elle^deux +12x + 64 = 0? Nous identifions les coefficients:

a = -7

b = 12

c = 64

Δ = b^deux - 4ac = 12^deux - 4x (-7) x 64 = 144 + 1792 = 1936> 0

L'équation a deux solutions. Voyons maintenant cet autre:

X^deux - 6x + 9 = 0

a = 1

b = -6

c = 9

Δ = (-6)^deux - 4 x 1 x 9 = 36 - 36 = 0

Ceci est une équation avec une seule solution ou avec deux solutions égales.

Exemples d'équations quadratiques simples

Au début, nous disions que les équations du second degré pouvaient être complètes si le trinôme est, et incomplètes si le terme linéaire ou le terme indépendant manquait. Regardons maintenant quelques types particuliers:

Équation de la forme x^deux + mx + n = 0

Dans ce cas a = 1 et la formule se réduit à:

Pour ce type d'équation, et toujours en fonction des coefficients restants, la méthode d'affacturage peut bien fonctionner, comme nous l'avons vu dans la section précédente.

Équation incomplète de la forme ax^deux + c = 0

La solution, si elle existe, est de la forme:

Il y a une vraie solution quand a ou c ont un signe négatif, mais si les deux termes ont le même signe, la solution sera imaginaire.

Équation incomplète de la forme ax^deux + bx = 0

Cette équation est rapidement résolue en utilisant la factorisation, puisque x est un facteur commun dans les deux termes. L'une des solutions est toujours x = 0, l'autre se trouve comme ceci:

hache^deux + bx = 0

x (ax + b) = 0

ax + b = 0 → x = -b / a

Voyons un exemple ci-dessous. Démêler:

X^deux - 5x = 0

x (x - 5) = 0

Par conséquent x₁ = 0 et x_deux = 5

Equations avec dénominateur

Il existe diverses équations de type rationnel, dans lesquelles l'inconnu peut être présent à la fois dans le numérateur et dans le dénominateur, ou même seulement dans ce dernier, et qui au moyen de manipulations algébriques se réduisent à des équations quadratiques.

La façon de les résoudre est de multiplier les deux côtés de l'égalité par le plus petit multiple commun ou m.c.m des dénominateurs, puis de réorganiser les termes. Par exemple:

Équations d'ordre supérieur qui deviennent quadratiques

Il existe des équations d'ordre supérieur qui peuvent être résolues comme si elles étaient quadratiques au moyen d'un changement de variable, par exemple cette équation bi-carré:

X⁴ - 10x^deux + 9 = 0

Soit x^deux = u, alors l'équation devient:

ou alors^deux - 10u + 9 = 0

Cette équation est rapidement résolue en factorisant, en trouvant deux nombres multipliés par 9 et additionnés de 10. Ces nombres sont 9 et 1:

(u - 9). (u - 1) = 0

Par conséquent, les solutions de cette équation sont u₁ = 9 et u_deux = 1. Nous retournons maintenant le changement:

X^deux = 9 → x₁ = 3 et x_deux = -3

X^deux = 1 → x₁ = 1 et x_deux = -1

L'équation d'origine est d'ordre 4, donc elle a au moins 4 racines. Celui de l'exemple est -3, -1, 1 et 3.

Exercices simples résolus

- Exercice 1

Résolvez l'équation quadratique suivante avec l'inconnu dans le dénominateur:

Le plus petit multiple commun est x (x + 2) et vous devez multiplier tous les termes:

L'expression équivalente reste:

5x (x + 2) - x = x (x + 2)

Nous développons:

5x^deux + 10x - x = x^deux + 2x

Tous les termes sont transposés à gauche de l'égalité et à droite on laisse 0:

5x^deux + 10x - x - x^deux - 2x = 0

4x^deux - 7x = 0

Nous factorisons, puisqu'il s'agit d'une équation incomplète:

x (4x - 7) = 0

L'une des solutions est x = 0, l'autre est:

4x = 7

x = 7/4

- Exercice 2

Trouvez la solution des équations quadratiques:

a) -7x^deux +12x + 64 = 0

b) x^deux - 6x + 9 = 0

Solution pour

De cette équation, nous connaissons le déterminant Δ, car il a été calculé à titre d'exemple auparavant, nous allons donc en profiter, en exprimant la formule de résolution comme ceci:

X₁ = (-12 + 44) / -14 = - (32/14) = - (16/7)

X_deux = (-12 - 44) / -14 = 4

Solution b

Le trinôme carré x^deux - 6x + 9 est factorisable, car c'est un trinôme carré parfait:

X^deux - 6x + 9 = (x-3)^deux = 0

La solution de cette équation est x = 3.

- Exercice 3

Quelle est l'équation dont les solutions sont 3 et 4?

Solution

L'expression factorisée est:

(x - 3) ⋅ (x - 4) = 0

Application de la propriété distributive:

X^deux - 4x -3x + 12 = 0

Les deux termes centraux sont similaires et peuvent être réduits, laissant:

X^deux - 7x + 12 = 0

Les références

1. Baldor. 1977. Algèbre élémentaire. Éditions culturelles vénézuéliennes.
2. Hoffman, J. Sélection de sujets de mathématiques. 2ieme volume.
3. Jiménez, R. 2008. Algèbre. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Précalcul: Mathématiques pour le calcul. 5ème. Édition. Apprentissage Cengage.
5. Zapata, F. 4 façons de résoudre une équation quadratique. Récupéré de: francesphysics.blogspot.com.
6. Zill, D. 1984. Algèbre et trigonométrie. Mcgraw Hill.