le ellipsoïde est une surface dans l'espace qui appartient au groupe des surfaces quadriques et dont l'équation générale est de la forme:
Hachedeux + Pardeux + Czdeux + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
C'est l'équivalent tridimensionnel d'une ellipse, caractérisée par des traces elliptiques et circulaires dans certains cas particuliers. Les traces sont les courbes obtenues en coupant l'ellipsoïde avec un plan.
En plus de l'ellipsoïde, il existe cinq autres quadriques: l'hyperboloïde à une feuille et à deux feuilles, deux types de paraboloïde (hyperbolique et elliptique) et le cône elliptique. Ses traces sont également coniques.
L'ellipsoïde peut également être exprimé par l'équation standard en coordonnées cartésiennes. Un ellipsoïde centré à l'origine (0,0,0) et exprimé de cette manière, ressemble à l'ellipse, mais avec un terme supplémentaire:
Les valeurs de à, b Oui c sont des nombres réels supérieurs à 0 et représentent les trois demi-axes de l'ellipsoïde.
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L'équation standard en coordonnées cartésiennes pour l'ellipse centrée au point (h, k, m) c'est:
En coordonnées sphériques, l'ellipsoïde peut être décrit comme suit:
x = un sin θ. cos φ
y = b sin θ. sen φ
z = c cos θ
Les demi-axes de l'ellipsoïde restent a, b et c, tandis que les paramètres sont les angles θ et φ de la figure suivante:
L'équation générale d'une surface dans l'espace est F (x, y, z) = 0 et les traces de la surface sont les courbes:
- x = c; F (c, y, z) = 0
- y = c; F (x, c, z) = 0
- z = c; F (x, y, c) = 0
Dans le cas d'un ellipsoïde, ces courbes sont des ellipses et parfois des cercles.
Le volume V de l'ellipsoïde est donné par (4/3) π fois le produit de ses trois demi-axes:
V = (4/3) π. abc
-Un ellipsoïde devient une sphère lorsque tous les demi-axes ont la même taille: a = b = c ≠ 0. Cela a du sens, puisque l'ellipsoïde est comme une sphère qui a été étirée différemment le long de chaque axe..
-Le sphéroïde est un ellipsoïde dans lequel deux des demi-axes sont identiques et le troisième est différent, par exemple il pourrait être a = b ≠ c.
Le sphéroïde est également appelé ellipsoïde de révolution, car il peut être généré en faisant tourner des ellipses autour d'un axe.
Si l'axe de rotation coïncide avec le grand axe, le sphéroïde est prolate, mais s'il coïncide avec le petit axe, c'est oblat:
La mesure de l'aplatissement du sphéroïde (ellipticité) est donnée par la différence de longueur entre les deux demi-axes, exprimée sous forme fractionnaire, c'est-à-dire qu'il s'agit de l'aplatissement unitaire, donné par:
f = (a - b) / a
Dans cette équation, a représente le demi-grand axe et b le demi-petit axe, rappelez-vous que le troisième axe est égal à l'un de ceux-ci pour un sphéroïde. La valeur de f est comprise entre 0 et 1 et pour un sphéroïde, elle doit être supérieure à 0 (si elle était égale à 0, nous aurions simplement une sphère).
Les planètes et les étoiles en général ne sont généralement pas des sphères parfaites, car le mouvement de rotation autour de leurs axes aplatit le corps aux pôles et le gonfle à l'équateur..
C'est pourquoi la Terre se révèle être comme un sphéroïde aplati, bien que pas aussi exagéré que celui de la figure précédente, et pour sa part la géante gazeuse Saturne est la plus plate des planètes du système solaire..
Donc, une manière plus réaliste de représenter les planètes est de supposer qu'elles sont comme un sphéroïde ou un ellipsoïde de révolution, dont le demi-grand axe est le rayon équatorial et le demi-petit axe le rayon polaire..
Des mesures minutieuses effectuées sur le globe ont permis de construire le ellipsoïde de référence de la Terre comme sa manière la plus précise de la travailler mathématiquement.
Les étoiles ont également des mouvements de rotation qui leur donnent des formes plus ou moins aplaties. L'étoile rapide Achernar, la huitième étoile la plus brillante du ciel nocturne, dans la constellation méridionale d'Eridanus est remarquablement elliptique par rapport à la plupart. Il est à 144 années-lumière de nous.
À l'autre extrême, il y a quelques années, des scientifiques ont trouvé l'objet le plus sphérique jamais trouvé: l'étoile Kepler 11145123, à 5000 années-lumière, deux fois la taille de notre Soleil et une différence entre les demi-axes de seulement 3 km. Comme prévu, il tourne également plus lentement.
Quant à la Terre, ce n'est pas non plus un sphéroïde parfait en raison de sa surface accidentée et des variations locales de gravité. C'est pourquoi il y a plus d'un sphéroïde de référence disponible et sur chaque site le plus approprié à la géographie locale est choisi..
L'aide des satellites est inestimable pour créer des modèles de plus en plus précis de la forme de la Terre, grâce à eux, on sait, par exemple, que le pôle sud est plus proche de l'équateur que le pôle nord..
En raison de la rotation de la Terre, une force centrifuge est générée qui lui donne la forme d'un ellipsoïde oblong, au lieu d'une sphère. Le rayon équatorial de la Terre est connu pour être de 3963 miles et le rayon polaire est de 3942 miles..
Trouvez l'équation de la trace équatoriale, celle de cet ellipsoïde et la mesure de son aplatissement. Comparez également avec l'ellipticité de Saturne, avec les données fournies ci-dessous:
-Rayon équatorial de Saturne: 60268 km
-Rayon polaire de Saturne: 54364 km
Un système de coordonnées est nécessaire, que nous supposerons centré sur l'origine (centre de la Terre). Nous supposerons l'axe z vertical et la trace qui correspond à l'équateur se trouve sur le plan xy, équivalent au plan z = 0.
Dans le plan équatorial, les demi-axes a et b sont égaux, donc a = b = 3963 miles, tandis que c = 3942 miles. C'est un cas particulier: un sphéroïde centré au point (0,0,0) comme indiqué ci-dessus.
La trace équatoriale est un cercle de rayon R = 3963 miles, centré à l'origine. Il est calculé en faisant z = 0 dans l'équation standard:
Et l'équation standard de l'ellipsoïde terrestre est:
F Terre = (a - b) / a = (3963-3942) miles / 3963 miles = 0,0053
F Saturne = (60268-54363) km / 60268 km = 0,0980
Notez que l'ellipticité f est une grandeur sans dimension.
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