La espoir mathématique ou la valeur attendue du Variable aléatoire X, est noté E (X) et est défini comme la somme du produit entre la probabilité d'un événement aléatoire et la valeur dudit événement.
Sous forme mathématique, il s'exprime comme suit:
μ = E (X) = ∑ xje. P (xje) = x1.P (x1) + xdeux.P (xdeux) + x3.P (x3) + ...
Où xje est la valeur de l'événement et P (xje) sa probabilité d'occurrence. La somme s'étend sur toutes les valeurs admises par X. Et si celles-ci sont finies, la somme indiquée converge vers la valeur E (X), mais si la somme ne converge pas, alors la variable n'a tout simplement pas de valeur attendue.
Quand il s'agit d'une variable continue X, la variable peut avoir des valeurs infinies et les intégrales remplacent les sommations:
Ici f (x) représente le fonction de densité de probabilité.
En général, l'espérance mathématique (qui est une moyenne pondérée) n'est pas égale à la moyenne arithmétique ou moyenne, à moins que nous ayons affaire à des distributions discrètes dans lesquelles chaque événement est également probable. Alors, et alors seulement:
μ = E (X) = (1 / n) ∑ xje
Où n est le nombre de valeurs possibles.
Le concept est très utile sur les marchés financiers et les compagnies d'assurance, où la certitude fait souvent défaut mais il y a des probabilités..
Index des articles
Parmi les propriétés les plus importantes de l'espérance mathématique, les suivantes se démarquent:
- Signe: si X est positif, alors E (X) le sera aussi.
- Valeur attendue d'une constante: la valeur attendue d'une constante réelle k est la constante.
E (k) = k
- Linéarité dans la somme: l'espérance d'une variable aléatoire qui est à son tour la somme de deux variables X et Y est la somme des attentes.
E (X + Y) = E (X) + E (Y)
- Multiplication par une constante: si la variable aléatoire est de la forme kX, où k est une constante (un nombre réel), elle sort en dehors de la valeur attendue.
E (kX) = k E (X)
- Valeur attendue du produit et indépendance entre les variables: si une variable aléatoire est le produit des variables aléatoires X et Y, qui sont indépendants, alors la valeur attendue du produit est le produit des valeurs attendues.
E (X.Y) = E (X) .E (Y)
- Variable aléatoire de la forme Y = aX + b: trouvé en appliquant les propriétés précédentes.
E (aX + b) = aE (X) + E (b) = aE (X) + b
En général, oui Y = g (X):
E (Y) = E [g (X)] = ∑ g (xje). P [g (xje)]
- Commande sur valeur attendue: si X ≤ Y, alors:
E (X) ≤ E (Y)
Puisqu'il y a les valeurs attendues de chacun d'eux.
Lorsque le célèbre astronome Christian Huygens (1629-1695) n'observait pas le ciel, il se consacra à étudier, entre autres disciplines, la probabilité dans les jeux de hasard. C'est lui qui a introduit le concept d'espérance mathématique dans son ouvrage de 1656 intitulé: Raisonner sur le jeu.
Huygens a constaté que les paris pouvaient être classés de trois manières, en fonction de la valeur attendue:
-Jeux d'avantage: E (X)> 0
-Paris équitables: E (X) = 0
-Jeu de handicap: E (X) < 0
Le problème est que dans un jeu de hasard, l'espérance mathématique n'est pas toujours facile à calculer. Et quand c'est possible, le résultat est parfois décevant pour ceux qui se demandent s'il faut miser ou non.
Essayons un pari simple: pile ou face et le perdant paie un café à 1 $. Quelle est la valeur attendue de ce pari?
Eh bien, la probabilité qu'une tête soit lancée est de ½, égale à une queue. La variable aléatoire est de gagner 1 $ ou de perdre 1 $, le gain est indiqué par le signe + et la perte par le signe -.
Nous organisons les informations dans un tableau:
Nous multiplions les valeurs des colonnes: 1. ½ = ½ et (-1). ½ = -½ et enfin les résultats sont ajoutés. La somme est de 0 et c'est un jeu équitable, dans lequel les participants ne devraient ni gagner ni perdre.
La roulette et la loterie françaises sont des jeux à handicap dans lesquels la plupart des parieurs perdent. Plus tard, il y a un pari légèrement plus complexe dans la section des exercices résolus.
Voici quelques exemples simples où le concept d'espérance mathématique est intuitif et clarifie le concept:
Nous commencerons par lancer un dé honnête. Quelle est la valeur attendue du lancement? Eh bien, si le dé est honnête et a 6 têtes, la probabilité que n'importe quelle valeur (X = 1, 2, 3… 6) lancera est de 1/6, comme ceci:
E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5
La valeur attendue dans ce cas est égale à la moyenne, puisque chaque visage a la même probabilité de sortir. Mais E (X) n'est pas une valeur possible, car aucune tête ne vaut 3,5. Ceci est parfaitement possible dans certaines distributions, bien que dans ce cas le résultat n'aide pas beaucoup le parieur..
Voyons un autre exemple avec le tirage au sort de deux pièces.
Deux pièces honnêtes sont lancées en l'air et nous définissons la variable aléatoire X comme le nombre de têtes qui sont roulées. Les événements qui peuvent survenir sont les suivants:
-Aucune tête ne monte: 0 tête qui équivaut à 2 queues.
-Renvoie 1 tête et 1 queues ou queues.
-2 visages sortent.
Soit C une tête et T un sceau, l'espace échantillon qui décrit ces événements est le suivant:
Sm = Sceau-Sceau; Seal-Face; Face-Seal; Face-Face = TT, TC, CT, CC
Les probabilités que les événements se produisent sont:
P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼
P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½
P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼
Le tableau est construit avec les valeurs obtenues:
Selon la définition donnée au début, l'espérance mathématique est calculée comme suit:
μ = E (X) = ∑ xje. P (xje) = x1.P (x1) + xdeux.P (xdeux) + x3.P (x3) + ...
Substituer des valeurs:
E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1
Ce résultat est interprété comme suit: si une personne a suffisamment de temps pour faire un grand nombre d'expériences en retournant les deux pièces, on s'attend à ce qu'elle ait une tête à chaque retournement..
Cependant, nous savons que les sorties avec 2 labels sont parfaitement possibles..
Dans le tirage au sort de deux pièces honnêtes, le pari suivant est fait: si 2 têtes sortent, 3 $ sont gagnés, si 1 tête sort, 1 $ est gagné, mais si deux timbres sortent, 5 $ doivent être payés. Calculez la victoire attendue du pari.
La variable aléatoire X est les valeurs que l'argent prend dans le pari et les probabilités ont été calculées dans l'exemple précédent, donc le tableau du pari est:
E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0
Comme la valeur attendue est de 0, c'est un jeu équitable, donc ici on s'attend à ce que le parieur ne gagne pas et ne perde pas non plus. Cependant, les montants des mises peuvent être modifiés pour faire du pari un jeu à handicap ou un jeu à handicap..
Personne n'a encore commenté ce post.