Deux les événements sont indépendants, lorsque la probabilité que l'un d'entre eux se produise n'est pas influencée par le fait que l'autre se produit -ou ne se produit pas-, étant donné que ces événements se produisent au hasard.
Cette circonstance se produit chaque fois que le processus qui génère le résultat de l'événement 1 ne modifie en rien la probabilité des résultats possibles de l'événement 2. Mais si cela ne se produit pas, les événements sont dits dépendants..
Une situation d'événement indépendante est la suivante: Supposons que deux dés à six faces soient lancés, l'un bleu et l'autre rose. La probabilité qu'un 1 lancera sur le dé bleu est indépendante de la probabilité qu'un 1 lancera -ou ne lancera pas- sur le dé rose..
Un autre cas de deux événements indépendants est celui de lancer une pièce deux fois de suite. Le résultat du premier lancer ne dépendra pas du résultat du second et vice versa.
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Pour vérifier que deux événements sont indépendants, nous définirons le concept de probabilité conditionnelle d'un événement par rapport à un autre. Pour cela, il faut faire la différence entre les événements exclusifs et les événements inclusifs:
Deux événements sont exclusifs si les valeurs ou éléments possibles de l'événement A n'ont rien de commun avec les valeurs ou éléments de l'événement B.
Donc dans deux événements exclusifs, l'ensemble de l'intersection de A avec B est le vide:
Hors événements: A∩B = Ø
Au contraire, si les événements sont inclusifs, il peut arriver qu'un résultat de l'événement A coïncide également avec celui d'un autre B, A et B étant des événements différents. Dans ce cas:
Événements inclusifs: A∩B ≠ Ø
Ceci nous amène à définir la probabilité conditionnelle de deux événements inclusifs, c'est-à-dire la probabilité d'occurrence de l'événement A, chaque fois que l'événement B se produit:
P (A¦B) = P (A∩B) / P (B)
Par conséquent, la probabilité conditionnelle est la probabilité que A se produise et B divisée par la probabilité que B se produise. La probabilité que B se produise en fonction de A peut également être définie:
P (B¦A) = P (A∩B) / P (A)
Ensuite, nous donnerons trois critères pour savoir si deux événements sont indépendants. Il suffit que l'un des trois soit rempli, pour que l'indépendance des événements soit démontrée.
1.- Si la probabilité que A se produise chaque fois que B se produit est égale à la probabilité de A, alors ce sont des événements indépendants:
P (A¦B) = P (A) => A est indépendant de B
2.- Si la probabilité que B se produise étant donné A, est égale à la probabilité de B, alors il y a des événements indépendants:
P (B¦A) = P (B) => B est indépendant de A
3.- Si la probabilité que A et B se produisent est égale au produit de la probabilité que A se produise et de la probabilité que B se produise, alors ce sont des événements indépendants. L'inverse est également vrai.
P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A et B sont des événements indépendants.
Les semelles en caoutchouc produites par deux fournisseurs différents sont comparées. Les échantillons de chaque fabricant sont soumis à plusieurs essais dont il est conclu s'ils sont ou non conformes aux spécifications.
Le résumé des 252 échantillons qui en résulte est le suivant:
Fabricant 1; 160 répondent aux spécifications; 8 Ils ne répondent pas aux spécifications.
Fabricant 2; 80 répondent aux spécifications; 4 ne répondent pas aux spécifications.
Événement A: "que l'échantillon provient du fabricant 1".
Événement B: "que l'échantillon répond aux spécifications".
Vous souhaitez savoir si ces événements A et B sont indépendants ou non, pour lesquels nous appliquons l'un des trois critères mentionnés dans la section précédente.
Critère: P (B¦A) = P (B) => B est indépendant de A
P (B) = 240/252 = 0,9523
P (B¦A) = P (A ⋂ B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0,9523
Conclusion: les événements A et B sont indépendants.
Supposons un événement C: "que l'échantillon provient du fabricant 2"
L'événement B sera-t-il indépendant de l'événement C?
Nous appliquons l'un des critères.
Critère: P (B¦C) = P (B) => B est indépendant de C
P (B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0,9523 = P (B)
Par conséquent, sur la base des données disponibles, la probabilité qu'une semelle en caoutchouc choisie au hasard satisfasse aux spécifications est indépendante du fabricant..
Regardons l'exemple suivant pour distinguer les événements personnes à charge et indépendant.
Nous avons un sac avec deux boules de chocolat blanc et deux boules de chocolat noir. La probabilité de tirer une balle blanche ou une balle noire est égale au premier essai.
Supposons que le résultat soit une bille blanche. Si la balle tirée est replacée dans le sac, la situation d'origine se répète: deux balles blanches et deux balles noires.
Ainsi, dans un deuxième événement ou tirage au sort, les chances de tirer une bille blanche ou une bille noire sont identiques à la première fois. Ce sont donc des événements indépendants.
Mais si la bille blanche tirée lors de la première épreuve n'est pas remplacée parce que nous l'avons mangée, lors du deuxième tirage, il y a plus de chances de dessiner une bille noire. La probabilité que dans une seconde extraction du blanc soit à nouveau obtenue, est différente de celle du premier événement et est conditionnée par le résultat précédent.
Dans une boîte, nous mettons les 10 billes de la figure 1, dont 2 vertes, 4 bleues et 4 blanches. Deux billes seront choisies au hasard, une première et une plus tard. Il demande de trouver le
probabilité qu'aucun d'entre eux ne soit bleu, dans les conditions suivantes:
a) Avec remplacement, c'est-à-dire remettre la première bille avant la deuxième sélection dans la boîte. Indiquez s'il s'agit d'événements indépendants ou dépendants.
b) Sans remplacement, de manière à ce que la première bille extraite soit laissée hors de la boîte lors de la deuxième sélection. De même, indiquez s'il s'agit d'événements dépendants ou indépendants.
Nous calculons la probabilité que la première bille extraite ne soit pas bleue, qui est de 1 moins la probabilité qu'elle soit bleue P (A), ou directement qu'elle ne soit pas bleue, car elle est sortie verte ou blanche:
P (A) = 4/10 = 2/5
P (ne soyez pas bleu) = 1 - (2/5) = 3/5
Ou bien:
P (vert ou blanc) = 6/10 = 3/5.
Si le marbre extrait est retourné, tout est comme avant. Dans cette seconde extraction, il y a aussi une probabilité de 3/5 que le marbre extrait ne soit pas bleu.
P (ni bleu, ni bleu) = (3/5). (3/5) = 9/25.
Les événements sont indépendants, puisque le marbre extrait a été remis dans la boîte et le premier événement n'influence pas la probabilité d'occurrence du second.
Pour la première extraction, procédez comme dans la section précédente. La probabilité qu'il ne soit pas bleu est de 3/5.
Pour la deuxième extraction, nous avons 9 billes dans le sac, puisque la première n'est pas revenue, mais elle n'était pas bleue, donc dans le sac il y a 9 billes et 5 pas bleues:
P (vert ou blanc) = 5/9.
P (aucun n'est bleu) = P (d'abord pas bleu). P (deuxième pas bleu / premier pas bleu) = (3/5). (5/9) = 1/3
Dans ce cas, ce ne sont pas des événements indépendants, puisque le premier événement conditionne le second..
Un magasin propose 15 chemises en trois tailles: 3 petites, 6 moyennes et 6 grandes. 2 chemises sont sélectionnées au hasard.
a) Quelle est la probabilité que les deux chemises sélectionnées soient petites, si l'une est prise en premier et sans remplacement dans le lot, une autre est prise?
b) Quelle est la probabilité que les deux chemises sélectionnées soient petites, si l'une est tirée en premier, elle est remplacée dans le lot et la seconde est tirée au sort?
Voici deux événements:
Événement A: le premier maillot sélectionné est petit
Événement B: le deuxième maillot sélectionné est petit
La probabilité de l'événement A est: P (A) = 3/15
La probabilité que l'événement B se produise est: P (B) = 2/14, car une chemise avait déjà été enlevée (il en reste 14), mais en plus nous voulons que l'événement A se réalise, la première chemise retirée doit être petite et donc il en reste encore 2 petits.
Autrement dit, la probabilité que A et B soient le produit des probabilités est:
P (A et B) = P (B¦A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0,029
Par conséquent, la probabilité que les événements A et B se produisent est égale au produit que l'événement A se produit, multiplié par la probabilité que l'événement B se produise si l'événement A s'est produit..
Il est à noter que:
P (B¦A) = 2/14
La probabilité que l'événement B se produise, que l'événement A se produise ou non, sera:
P (B) = (2/14) si le premier était petit, ou P (B) = 3/14 si le premier n'était pas petit.
En général, on peut conclure ce qui suit:
P (B¦A) n'est pas égal à P (B) => B n'est pas indépendant de A
Encore une fois, il y a deux événements:
Événement A: le premier maillot sélectionné est petit
Événement B: le deuxième maillot sélectionné est petit
P (A) = 3/15
N'oubliez pas que quel que soit le résultat, la chemise tirée du lot est remplacée et encore une fois une chemise est tirée au sort. La probabilité que l'événement B se produise, si l'événement A s'est produit est:
P (B¦A) = 3/15
La probabilité que les événements A et B se produisent sera:
P (A et B) = P (B¦A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0,04
Noter que:
P (B¦A) est égal à P (B) => B est indépendant de A.
Considérons deux événements indépendants A et B. On sait que la probabilité que l'événement A se produise est de 0,2 et la probabilité que l'événement B se produise est de 0,3. Quelle est la probabilité que les deux événements se produisent??
Sachant que les événements sont indépendants, on sait que la probabilité que les deux événements se produisent est le produit des probabilités individuelles. C'est-à-dire,
P (A∩B) = P (A) P (B) = 0,2 * 0,3 = 0,06
Notez qu'il s'agit d'une probabilité bien inférieure à la probabilité que chaque événement se produise quel que soit le résultat de l'autre. Ou en d'autres termes, bien inférieurs aux cotes individuelles.
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