le fonctions transcendantes Les éléments élémentaires sont les exponentielles, les logarithmiques, les fonctions trigonométriques, trigonométriques inverses, hyperboliques et hyperboliques inverses. Autrement dit, ce sont ceux qui ne peuvent pas être exprimés au moyen d'un polynôme, d'un quotient de polynômes ou de racines de polynômes..
Les fonctions transcendantes non élémentaires sont également appelées fonctions spéciales et parmi elles, la fonction d'erreur peut être nommée. le fonctions algébriques (polynômes, quotients de polynômes et racines de polynômes) avec le fonctions transcendantes les élémentaires constituent ce que l'on appelle en mathématiques fonctions élémentaires.
Les fonctions transcendantes sont également considérées comme celles qui résultent d'opérations entre des fonctions transcendantes ou entre des fonctions transcendantes et algébriques. Ces opérations sont: la somme et la différence des fonctions, le produit et le quotient des fonctions, ainsi que la composition de deux ou plusieurs fonctions.
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C'est une fonction réelle de variable indépendante réelle de la forme:
f (x) = a ^ x = aX
où à est un nombre réel positif (a> 0) fixe appelé la base. Les circonflexes ou exposants sont utilisés pour désigner l'opération de potentialisation.
Disons a = 2 alors la fonction ressemble à ceci:
f (x) = 2 ^ x = 2X
Qui sera évalué pour plusieurs valeurs de la variable indépendante x:
Ci-dessous, un graphique où la fonction exponentielle est représentée pour différentes valeurs de la base, y compris la base et (Numéro Neper et ≃ 2,72). Base et est si important que, en général, lorsque nous parlons d'une fonction exponentielle, nous pensons à e ^ x, qui est également noté exp (x).
D'après la figure 1, on peut voir que le domaine des fonctions exponentielles sont les nombres réels (Dom f = R) et la plage ou le chemin sont les réels positifs (Ran f = R+).
Par contre, quelle que soit la valeur de la base a, toutes les fonctions exponentielles passent par le point (0, 1) et par le point (1, a).
Quand la base a> 1, alors la fonction augmente et quand 0 < a < 1 la fonction diminue.
Courbes de y = a ^ x et de y = (1 / a) ^ x sont symétriques par rapport à l'axe Oui.
Sauf le cas a = 1, la fonction exponentielle est injective, c'est-à-dire qu'à chaque valeur de l'image correspond une et une seule valeur de départ.
C'est une fonction réelle de variable indépendante réelle basée sur la définition du logarithme d'un nombre. Le logarithme à baser à d'un certain nombre X, C'est le nombre Oui auquel la base doit être élevée pour obtenir l'argument X:
Journalà(x) = y ⇔ a ^ y = x
C'est le fonction logarithme fondé à est la fonction inverse de la fonction exponentielle en base à.
Par exemple:
Journaldeux1 = 0, puisque 2 ^ 0 = 1
Un autre cas, connectez-vousdeux4 = 2, car 2 ^ 2 = 4
Le logarithme de la racine de 2 est logdeux√2 = ½, car 2 ^ ½ = √2
Journaldeux ¼ = -2, puisque 2 ^ (- 2) = ¼
Ci-dessous, un graphique de la fonction logarithme dans diverses bases.
Le domaine de la fonction logarithme y (x) = journalà(X) sont les nombres réels positifs R+. La plage ou la plage correspond aux nombres réels R.
Quelle que soit la base, la fonction logarithme passe toujours par le point (1,0) et le point (a, 1) appartient au graphe de cette fonction.
Dans le cas où la base a est supérieure à l'unité (a> 1), la fonction logarithme augmente. Mais si (0 < a < 1) entonces es una función decreciente.
La fonction sinus attribue un nombre réel y à chaque valeur x, où x représente la mesure d'un angle en radians. Pour obtenir la valeur du Sen (x) d'un angle, l'angle est représenté dans le cercle unitaire et la projection dudit angle sur l'axe vertical est le sinus correspondant à cet angle.
Ce qui suit montre (sur la figure 3) le cercle trigonométrique et le sinus pour différentes valeurs angulaires X1, X2, X3 et X4.
Définie de cette manière, la valeur maximale que peut avoir la fonction Sen (x) est 1, ce qui se produit lorsque x = π / 2 + 2π n, où n est un entier (0, ± 1, ± 2,). La valeur minimale que peut prendre la fonction Sen (x) se produit lorsque x = 3π / 2 + 2π n.
La fonction cosinus y = Cos (x) est définie de manière similaire, mais la projection des positions angulaires P1, P2, etc. est effectuée sur l'axe horizontal du cercle trigonométrique..
Par contre, la fonction y = Tan (x) est le quotient entre la fonction sinus et la fonction cosinus.
Ci-dessous, un graphique des fonctions transcendantes Sen (x), Cos (x) et Tan (x)
Dérivé Y ' de la fonction exponentielle y = a ^ x est la fonction un ^ x multiplié par le logarithme naturel de la base a:
y '= (a ^ x)' = a ^ x ln a
Dans le cas particulier de la base et, la dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même.
L'intégrale indéfinie de un ^ x est la fonction elle-même divisée par le logarithme naturel de la base.
Dans le cas particulier de la base e, l'intégrale de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même.
Voici un tableau récapitulatif des principales fonctions transcendantes, leurs dérivées et intégrales indéfinies (primitives):
Trouvez la fonction issue de la composition de la fonction f (x) = x ^ 3 avec la fonction g (x) = cos (x):
(f ou g) (x) = f (g (x)) = cos3(X)
Sa dérivée et son intégrale indéfinie sont:
Trouvez la composition de la fonction g avec la fonction f, où g et f sont les fonctions définies dans l'exemple précédent:
(g ou f) (x) = g (f (x)) = cos (x3)
Il est à noter que la composition des fonctions n'est pas une opération commutative.
La dérivée et l'intégrale indéfinie de cette fonction sont respectivement:
L'intégrale a été laissée indiquée car il n'est pas possible d'écrire exactement le résultat comme une combinaison de fonctions élémentaires.
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