Les nombres complexes sont l'ensemble numérique qui comprend les nombres réels et toutes les racines des polynômes, y compris les racines paires des nombres négatifs. Ces racines n'existent pas dans l'ensemble des nombres réels, mais dans les nombres complexes il y a la solution.
Un nombre complexe se compose d'une partie réelle et d'une partie dite «imaginaire». La vraie partie s'appelle à, par exemple, et la partie imaginaire ib, avec à Oui b nombres réels et "i" comme unité imaginaire. De cette façon, le nombre complexe prend la forme:
z = a + ib
Des exemples de nombres complexes sont 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Mais avant d'opérer avec eux, voyons d'où provient l'unité imaginaire je, considérant cette équation quadratique:
Xdeux - 10x + 34 = 0
Où a = 1, b = -10 et c = 34.
Lors de l'application de la formule de résolution pour déterminer la solution, nous trouvons ce qui suit:
Comment déterminer la valeur de √-36? Il n'y a pas de nombre réel qui donne une quantité négative au carré. Puis on conclut que cette équation n'a pas de vraies solutions.
Cependant, nous pouvons écrire ceci:
√-36 = √-6deux = √6deux (-1) = 6√-1
Si nous définissons une certaine valeur X tel que:
Xdeux = -1
Ensuite:
x = ± √-1
Et l'équation ci-dessus aurait une solution. Par conséquent, l'unité imaginaire a été définie comme:
i = √-1
Et donc:
√-36 = 6i
De nombreux mathématiciens de l'Antiquité ont travaillé à la résolution de problèmes similaires, notamment la Renaissance Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) et Raffaele Bombelli (1526-1572).
Des années plus tard, René Descartes (1596-1650) a appelé des quantités telles que √-36 dans l'exemple «imaginaire». Pour cette raison, √-1 est connu sous le nom de unité imaginaire.
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-L'ensemble des nombres complexes est noté C et comprend les nombres réels R et les nombres imaginaires Im. Les ensembles de nombres sont représentés dans un diagramme de Venn, comme illustré dans la figure suivante:
-Chaque nombre complexe se compose d'une partie réelle et d'une partie imaginaire.
-Lorsque la partie imaginaire d'un nombre complexe est 0, c'est un nombre réel pur.
-Si la partie réelle d'un nombre complexe est 0, alors le nombre est purement imaginaire.
-Deux nombres complexes sont égaux si leur partie réelle et leur partie imaginaire respectives sont identiques.
-Avec les nombres complexes, les opérations connues d'addition, de soustraction, de multiplication, de produit et d'amélioration sont effectuées, aboutissant à un autre nombre complexe.
Les nombres complexes peuvent être représentés de différentes manières. Voici les principaux:
C'est la forme donnée au début, où z est le nombre complexe, à c'est la vraie partie, b est la partie imaginaire e je est l'unité imaginaire:
z = a + ib
Ou aussi:
z = x + iy
Une façon de représenter graphiquement le nombre complexe consiste à utiliser le plan complexe illustré sur cette figure. L'axe imaginaire Im est vertical, tandis que l'axe réel est horizontal et est noté Re.
Le nombre complexe z est représenté sur ce plan comme un point de coordonnées (x, y) ou alors (un B), comme c'est fait avec les points du plan réel.
La distance de l'origine au point z est le module du nombre complexe, noté r, tandis que φ est l'angle qui forme r avec l'axe réel.
Cette représentation est étroitement liée à celle des vecteurs dans le plan réel. La valeur de r correspond à module du nombre complexe.
La forme polaire consiste à exprimer le nombre complexe en donnant les valeurs de r et de φ. Si nous regardons le chiffre, la valeur de r correspond à l'hypoténuse d'un triangle rectangle. Les jambes valent la peine à Oui b, ou bien X Oui Oui.
De la forme binomiale ou binomiale, on peut passer à la forme polaire en:
r = √xdeux+Ouideux
L'angle φ C'est celui qui forme le segment r avec l'axe horizontal ou axe imaginaire. Il est connu comme argument du nombre complexe. De cette manière:
φ = arctg (y / x)
L'argument a des valeurs infinies, en tenant compte du fait qu'à chaque fois qu'un tour est tourné, qui vaut 2π radians, r occupe à nouveau la même position. De cette manière générale, l'argument de z, noté Arg (z), est exprimé comme ceci:
Arg (z) = φ + 2kπ
Où k est un entier et est utilisé pour indiquer le nombre de tours tournés: 2, 3, 4…. Le signe indique le sens de rotation, s'il est dans le sens horaire ou antihoraire.
Et si nous voulons passer de la forme polaire à la forme binomiale, nous utilisons les rapports trigonométriques. À partir de la figure précédente, nous pouvons voir que:
x = r cos φ
y = r sin φ
De cette façon z = r (cos φ + i sin φ)
Qui est abrégé comme ceci:
z = r cis φ
Les nombres complexes suivants sont donnés sous forme binomiale:
a) 3 + i
b) 4
d) -6i
Et ceux-ci sous la forme d'une paire ordonnée:
a) (-5, -3)
b) (0, 9)
c) (7,0)
Enfin, ce groupe est donné sous forme polaire ou trigonométrique:
a) √2 cis 45º
b) √3 cis 30º
c) 2 cis 315º
L'utilité des nombres complexes va au-delà de la résolution de l'équation quadratique présentée au début, car ils sont essentiels dans le domaine de l'ingénierie et de la physique, en particulier dans:
-L'étude des ondes électromagnétiques
-Analyse du courant alternatif et de la tension
-Modélisation de tous types de signaux
-Théorie de la relativité, où le temps est supposé être une grandeur imaginaire.
Avec des nombres complexes, nous pouvons effectuer toutes les opérations effectuées avec des nombres réels. Certains sont plus faciles à faire si les nombres se présentent sous forme binomiale, comme l'addition et la soustraction. Au lieu de cela, la multiplication et la division sont plus simples si elles sont effectuées avec la forme polaire.
Regardons quelques exemples:
Ajouter z1 = 2 + 5i et zdeux = -3 -8i
Les parties réelles sont ajoutées séparément des parties imaginaires:
z1 + zdeux = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i
Multiplier z1 = 4 cis 45º et zdeux = 5 cis 120º
On peut montrer que le produit de deux nombres complexes sous forme polaire ou trigonométrique est donné par:
z1 . zdeux = r1.rdeux cis (φ1 + φdeux)
Selon ce:
z1 . zdeux = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º
Une application simple des nombres complexes consiste à trouver toutes les racines d'une équation polynomiale comme celle montrée au début de l'article.
Dans le cas de l'équation xdeux - 10x + 34 = 0, en appliquant la formule de résolution, nous obtenons:
Par conséquent, les solutions sont:
X1 = 5 + 3i
Xdeux = 5 - 3i
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