Les nombres rationnels sont tous les nombres qui peuvent être obtenus sous forme de division de deux nombres entiers. Des exemples de nombres rationnels sont: 3/4, 8/5, -16/3 et ceux qui apparaissent dans la figure suivante. En nombre rationnel, le quotient est indiqué, il est possible de le faire plus tard si nécessaire.
La figure représente n'importe quel objet, rond pour plus de commodité. Si nous voulons le diviser en 2 parties égales, comme à droite, il nous reste deux moitiés et chacune vaut 1/2.
En le divisant en 4 parties égales, nous obtiendrons 4 pièces et chacune vaut 1/4, comme dans l'image au centre. Et s'il est nécessaire de le répartir en 6 parties égales, car chaque partie vaudrait 1/6, ce que nous voyons dans l'image de gauche.
Bien sûr, nous pourrions également le diviser en deux parties inégales, par exemple nous pourrions conserver 3/4 parties et économiser 1/4 partie. D'autres divisions sont également possibles, telles que 4/6 pièces et 2/6 pièces. L'important est que la somme de toutes les parties soit 1.
De cette façon, il est évident qu'avec les nombres rationnels, des choses comme la nourriture, l'argent, la terre et toutes sortes d'objets peuvent être divisées, comptées et distribuées en fractions. Et ainsi la quantité d'opérations qui peuvent être faites avec les nombres est augmentée.
Les nombres rationnels peuvent également être exprimés sous forme décimale, comme on peut le voir dans les exemples suivants:
1/2 = 0,5
1/3 = 0,3333…
3/4 = 0,75
1/7 = 0,142857142857142857…
Plus tard nous vous indiquerons comment passer d'une forme à une autre avec des exemples.
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Les nombres rationnels, dont nous désignerons l'ensemble par la lettre Q, ont les propriétés suivantes:
-Q comprend les nombres naturels N et les nombres entiers Z.
Tenant compte du fait que n'importe quel nombre à Il peut être exprimé comme le quotient entre lui-même et 1, il est facile de voir que parmi les nombres rationnels il y a aussi des nombres naturels et des entiers.
Ainsi, le nombre naturel 3 peut être écrit sous forme de fraction, ainsi que -5:
3 = 3/1
-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)
De cette façon, Q est un ensemble numérique qui comprend un plus grand nombre de nombres, ce qui est très nécessaire, car les nombres «ronds» ne suffisent pas à décrire toutes les opérations possibles à faire..
-Les nombres rationnels peuvent être additionnés, soustraits, multipliés et divisés, le résultat de l'opération étant un nombre rationnel: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.
-Entre chaque paire de nombres rationnels, un autre nombre rationnel peut toujours être trouvé. En fait, entre deux nombres rationnels il y a des nombres rationnels infinis.
Par exemple, entre les rationnels 1/4 et 1/2 se trouvent les rationnels 3/10, 7/20, 2/5 (et bien d'autres), qui peuvent être vérifiés en les exprimant sous forme de décimales.
-Tout nombre rationnel peut être exprimé par: i) un nombre entier ou ii) un nombre décimal limité (strict) ou périodique: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0,16666666…
-Le même nombre peut être représenté par des fractions équivalentes infinies et toutes appartiennent à Q. Voyons ce groupe:
Ils représentent tous la décimale 0,428571 ...
-De toutes les fractions équivalentes qui représentent le même nombre, la fraction irréductible, la plus simple de toutes, est la représentant canonique de ce nombre. Le représentant canonique de l'exemple ci-dessus est 3/7.
-Fractions propres, celles dont le numérateur est inférieur au dénominateur:
-Fractions incorrectes, dont le numérateur est supérieur au dénominateur:
-Nombres naturels et nombres entiers:
-Fractions équivalentes:
Lorsque le numérateur est divisé par le dénominateur, la forme décimale du nombre rationnel est trouvée. Par exemple:
2/5 = 0,4
3/8 = 0,375
1/9 = 0,11111…
6/11 = 0,545454…
Dans les deux premiers exemples, le nombre de décimales est limité. Cela signifie que lorsque la division est terminée, nous obtenons finalement un reste de 0.
Par contre, dans les deux suivants, le nombre de décimales est infini et c'est pourquoi les points de suspension sont placés. Dans ce dernier cas, il y a un motif dans les décimales. Dans le cas de la fraction 1/9, le nombre 1 est répété indéfiniment, alors qu'en 6/11 il est 54.
Lorsque cela se produit, la décimale est dite périodique et est indiquée par un signe d'insertion comme ceci:
S'il s'agit d'une décimale limitée, la virgule est simplement éliminée et le dénominateur devient l'unité suivie d'autant de zéros qu'il y a de chiffres dans la décimale. Par exemple, pour transformer le 1,26 décimal en une fraction, écrivez-le comme ceci:
1,26 = 126/100
Ensuite, la fraction résultante est simplifiée au maximum:
126/100 = 63/50
Si la décimale est illimitée, la période est d'abord identifiée. Ensuite, ces étapes sont suivies pour trouver la fraction résultante:
-Le numérateur est la soustraction entre le nombre (sans virgule ni signe d'insertion) et la partie qui ne porte pas l'accent circonflexe.
-Le dénominateur est un entier avec autant de 9 qu'il y a de chiffres sous le circonflexe, et autant de 0 qu'il y a de chiffres dans la partie décimale il y en a qui ne sont pas sous le circonflexe.
Suivons cette procédure pour transformer le nombre décimal 0.428428428… en une fraction.
-Tout d'abord, la période est identifiée, qui est la séquence qui se répète: 428.
-Ensuite, l'opération de soustraction du nombre sans virgule ni accent est effectuée: 0428 de la partie qui n'a pas de circonflexe, qui est 0. C'est donc 428 - 0 = 428.
-Le dénominateur est construit, sachant que sous le circonflexe il y a 3 chiffres et tous sont sous le circonflexe. Par conséquent, le dénominateur est 999.
-Enfin la fraction est formée et simplifiée si possible:
0,428 = 428/999
Il n'est pas possible de simplifier davantage.
Lorsque les fractions ont le même dénominateur, il est très facile de les additionner et / ou de les soustraire, car les numérateurs sont simplement ajoutés algébriquement, laissant le même que les addends comme dénominateur du résultat. Enfin, si possible, c'est simplifié.
Effectuez l'addition algébrique suivante et simplifiez le résultat:
La fraction résultante est déjà irréductible.
Dans ce cas, les addends sont remplacés par des fractions équivalentes de même dénominateur puis la procédure déjà décrite est suivie.
Ajoutez algébriquement les nombres rationnels suivants, en simplifiant le résultat:
Les étapes sont:
-Déterminez le plus petit commun multiple (LCM) des dénominateurs 5, 8 et 3:
ppcm (5,8,3) = 120
Ce sera le dénominateur de la fraction résultante sans simplifier.
-Pour chaque fraction: divisez le LCM par le dénominateur et multipliez par le numérateur. Le résultat de cette opération est placé, avec son signe respectif, au numérateur de la fraction. De cette manière, une fraction équivalente à l'original est obtenue, mais avec le LCM comme dénominateur..
Par exemple, pour la première fraction, le numérateur est construit comme ceci: (120/5) x 4 = 96 et on obtient:
Procédez de la même manière pour les fractions restantes:
Enfin, les fractions équivalentes sont substituées sans oublier leur signe et la somme algébrique des numérateurs est effectuée:
(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =
= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12
La multiplication et la division se font selon les règles ci-dessous:
Dans tous les cas, il est important de se rappeler que la multiplication est commutative, ce qui signifie que l'ordre des facteurs ne modifie pas le produit. Cela ne se produit pas avec la division, il faut donc veiller à respecter l'ordre entre le dividende et le diviseur.
Effectuez les opérations suivantes et simplifiez le résultat:
a) (5/3) x (8/15)
b) (-4/5) ÷ (2/9)
(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8
(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5
Luisa avait 45 $. Il en a dépensé un dixième pour acheter un livre et 2/5 de ce qui restait sur un t-shirt. Combien d'argent reste-t-il à Luisa? Exprimer le résultat sous forme de fraction irréductible.
Le coût du livre (1/10) x 45 USD = 0,1 x 45 USD = 4,5 USD
Par conséquent, Luisa s'est retrouvée avec:
45 à 4,5 $ = 40,5 $
Avec cet argent, Luisa est allée au magasin de vêtements et a acheté la chemise dont le prix est:
(2/5) x 40,5 USD = 16,2 USD
Maintenant, Luisa a dans son portefeuille:
40,5 - 16,2 $ = 24,3 $
Pour l'exprimer sous forme de fraction, il s'écrit comme ceci:
24,3 = 243/10
C'est irréductible.
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