Les nombres réels ils constituent l'ensemble numérique qui comprend les nombres naturels, les entiers, le rationnel et l'irrationnel. Ils sont désignés par le symbole ℝ ou simplement R et la portée qu'ils ont en science, ingénierie et économie est telle que lorsqu'on parle de «nombre», on prend presque pour acquis qu'il s'agit d'un nombre réel.
Les nombres réels sont utilisés depuis l'Antiquité, bien qu'ils n'aient pas reçu ce nom. Déjà à partir du moment où Pythagore a développé son célèbre théorème, des nombres sont apparus qui ne pouvaient pas être obtenus sous forme de quotients de nombres naturels ou d'entiers.
Des exemples de nombres sont √2, √3 et π. Ces numéros sont appelés irrationnel, contrairement aux nombres rationnels, qui proviennent de rapports entiers. Il fallait donc un ensemble numérique qui englobe les deux classes de nombres..
Le terme «nombre réel» a été créé par le grand mathématicien René Descartes (1596-1650), pour distinguer les deux types de racines qui peuvent résulter de la résolution d'une équation polynomiale.
Certaines de ces racines peuvent même être des racines de nombres négatifs, Descartes appelait ces «nombres imaginaires» et ceux qui ne l'étaient pas étaient des nombres réels.
La dénomination a persisté au fil du temps, donnant naissance à deux grands ensembles numériques: les nombres réels et les nombres complexes, un ensemble plus grand qui comprend des nombres réels, des nombres imaginaires et ceux qui sont en partie réels et en partie imaginaires..
L'évolution des nombres réels a continué son cours jusqu'à ce qu'en 1872, le mathématicien Richard Dedekind (1831-1936) définisse formellement l'ensemble des nombres réels à travers le soi-disant coupes par Dedekind. La synthèse de son travail a été publiée dans un article qui a vu le jour la même année.
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Le tableau ci-dessous montre des exemples de nombres réels. Cet ensemble a comme sous-ensembles les nombres naturels, les entiers, le rationnel et l'irrationnel. N'importe quel nombre de ces ensembles est lui-même un nombre réel.
Par conséquent 0, les négatifs, les positifs, les fractions et les décimales sont des nombres réels.
Les nombres réels peuvent être représentés sur la ligne réelle R, comme le montre l'image. Il n'est pas nécessaire que le 0 soit toujours présent, cependant il convient de savoir qu'à sa gauche se trouvent les réels négatifs et à droite les réels positifs. C'est pourquoi c'est un excellent point de référence.
Sur la ligne réelle, une échelle est prise, dans laquelle les entiers sont trouvés:… 3, -2, -1, 1, 2, 3…. La flèche indique que la ligne s'étend à l'infini. Mais ce n'est pas tout, dans n'importe quel intervalle considéré, nous trouverons aussi toujours des nombres réels infinis.
Les nombres réels sont représentés dans l'ordre. Pour commencer, il y a l'ordre des entiers, dans lequel les positifs sont toujours supérieurs à 0, tandis que les négatifs sont inférieurs..
Cet ordre est conservé dans les nombres réels. Les inégalités suivantes sont illustrées à titre d'exemple:
a) -1/2 < √2
être < π
c) π> -1/2
-Les nombres réels comprennent les nombres naturels, les entiers, les nombres rationnels et les nombres irrationnels..
-La propriété commutative de l'addition est remplie: l'ordre des addends n'altère pas la somme. Si a et b sont deux nombres réels, il est toujours vrai que:
a + b = b + a
-0 est l'élément neutre de la somme: a + 0 = a
-Pour la somme, la propriété associative est satisfaite. Si a, b et c sont des nombres réels: (a + b) + c = a + (b + c).
-L'opposé d'un nombre réel à est -a.
-La soustraction est définie comme la somme du contraire: a - b = a + (-b).
-La propriété commutative du produit est satisfaite: l'ordre des facteurs n'altère pas le produit: a.b = b.a
-Dans le produit, la propriété associative est également appliquée: (a.b) .c = a. (B.c)
-Le 1 est l'élément neutre de la multiplication: a.1 = a
-La propriété distributive de multiplication par rapport à l'addition est valide: a. (b + c) = a.b + a.c
-La division par 0 n'est pas définie.
-Tout nombre réel a, sauf 0, a un inverse multiplicatif de-1 tel que a.a-1 = 1.
-Si a est un nombre réel: a0 = 1 et a1 = a.
-La valeur absolue ou module d'un nombre réel est la distance entre ledit nombre et 0.
Avec les nombres réels, vous pouvez effectuer les opérations qui sont effectuées avec les autres ensembles numériques, y compris l'addition, la soustraction, la multiplication, la division, l'autonomisation, la radication, les logarithmes et plus.
Comme toujours, la division par 0 n'est pas définie, ni les logarithmes négatifs des nombres ni 0, bien qu'il soit vrai que log 1 = 0 et que les logarithmes des nombres entre 0 et 1 sont négatifs.
Les applications des nombres réels à toutes sortes de situations sont extrêmement variées. Les nombres réels apparaissent comme des réponses à de nombreux problèmes en sciences exactes, en informatique, en ingénierie, en économie et en sciences sociales..
Toutes sortes de grandeurs et de quantités telles que les distances, les temps, les forces, l'intensité sonore, l'argent et bien d'autres, ont leur expression en nombres réels.
La transmission des signaux téléphoniques, l'image et le son d'une vidéo, la température d'un climatiseur, d'un radiateur ou d'un réfrigérateur peuvent être contrôlés numériquement, ce qui signifie transformer des grandeurs physiques en séquences numériques.
La même chose se produit lors d'une transaction bancaire sur Internet ou lors de la consultation de la messagerie instantanée. Les vrais chiffres sont partout.
Nous allons voir avec des exercices comment ces nombres fonctionnent dans des situations courantes que nous rencontrons au quotidien..
La poste n'accepte que les colis dont la longueur, plus la circonférence, ne dépasse pas 108 pouces. Par conséquent, pour que le colis affiché soit accepté, il doit être rempli que:
L + 2 (x + y) ≤ 108
a) Un colis mesurant 6 pouces de large, 8 pouces de haut et 5 pieds de long réussira-t-il??
b) Qu'en est-il de celui qui mesure 2 x 2 x 4 pieds3?
c) Quelle est la hauteur acceptable la plus élevée pour un colis dont la base est carrée et mesure 9 x 9 poucesdeux?
L = 5 pieds = 60 pouces
x = 6 pouces
y = 8 pouces
L'opération à résoudre est:
L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) pouces = 60 + 2 x 14 pouces = 60 + 28 pouces = 88 pouces
Le colis est accepté.
Les dimensions de ce paquet sont plus petites que le paquet a), donc ils réussissent tous les deux à passer.
Dans ce package:
x = L = 9 pouces
Il doit être rempli que:
9+ 2 (9 + y) ≤ 108
27 + 2 ans ≤ 108
2 ans ≤ 81
et ≤ 40,5 pouces
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