le rapports trigonométriques sont les quotients ou rapports qui peuvent être faits avec la valeur des côtés d'un triangle rectangle. Ces côtés sont: deux pattes qui forment 90 ° l'une avec l'autre et l'hypoténuse, qui forme l'angle aigu θ avec l'une des pattes.
Vous pouvez former 6 quotients. Leurs noms et abréviations respectives sont:
Tous se référaient à l'angle θ, comme le montre la figure suivante:
Les rapports trigonométriques de base de l'angle θ sont sin θ, cos θ et tan θ, tandis que les rapports restants peuvent être exprimés en fonction de ces trois. D'après le tableau ci-dessus, on peut voir que:
La taille des côtés du triangle n'influence pas la valeur des rapports, car deux triangles dont les angles mesurent les mêmes sont des triangles similaires et les rapports respectifs entre les côtés ont la même valeur.
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Par exemple, calculons les rapports trigonométriques de l'angle θ dans les triangles suivants:
Pour le petit triangle, nous avons les trois rapports de base de l'angle θ:
sin θ = 3/5
cos θ = 4/5
tg θ = ¾
Et maintenant, calculons les trois rapports de base de θ avec le grand triangle:
sin θ = 30/50 = 3/5
cos θ = 40/50 = 4/5
tg θ = 30/40 = ¾
Un détail important à prendre en compte est le suivant: sin θ et cos θ sont tous deux inférieurs à 1, car les jambes mesurent toujours moins que l'hypoténuse. En effet:
sin θ = 3/5 = 0,6
cos θ = 4/5 = 0,8
Dans les exercices suivants, il vous est demandé de résoudre le triangle rectangle, ce qui signifie trouver la longueur de ses trois côtés et la mesure de ses angles internes, dont l'un mesure toujours 90 °.
Le théorème de Pythagore s'applique aux triangles rectangles et est très utile lorsque deux des côtés sont connus et que le côté manquant doit être déterminé. Le théorème va comme ceci:
Hypoténusedeux = jambe opposéedeux + jambe adjacentedeux
Nous pouvons vérifier le théorème de Pythagore avec le petit triangle de la figure 2, dont les jambes sont 3 et 4. L'ordre dans lequel les jambes sont prises n'a pas d'importance. En appliquant le théorème, nous avons:
Hypoténusedeux = 3deux + 4deux = 9 + 16 = 25
Par conséquent, l'hypoténuse est:
Hypoténuse = √25 = 5
Calculez les rapports trigonométriques des angles indiqués dans les triangles suivants:
Ce triangle est le même que sur la figure 3, mais on nous demande les rapports trigonométriques de l'autre angle aigu, noté α. L'énoncé n'offre pas la valeur de l'hypoténuse, cependant, en appliquant le théorème de Pythagore, nous savons qu'il vaut 5.
Les ratios peuvent être calculés directement à partir de la définition, en prenant soin de sélectionner la jambe qui est l'opposé de l'angle α pour calculer sin α. Voyons voir:
Et comme nous pouvons le voir, les valeurs des rapports trigonométriques ont été permutées. En effet, α et θ sont des angles complémentaires, ce qui signifie qu'ils totalisent 90º. Dans ce cas, il est vrai que sin α = cos θ et ainsi de suite pour les autres raisons.
Calculons l'hypoténuse du triangle en utilisant le théorème de Pythagore:
Hypoténusedeux = 20deux + vingt-et-undeux = 841
√841 = 29
Alors les 6 rapports trigonométriques de l'angle β sont:
a) Trouvez la valeur de x sur la figure.
b) Calculez le périmètre des 3 triangles représentés.
Sur la figure, nous pouvons identifier plusieurs triangles, en particulier le triangle rectangle à gauche, qui a une jambe égale à 85 et l'angle aigu de 60 °.
Avec les informations de ce triangle, nous pouvons calculer le côté b. Ce n'est pas la mesure demandée par la déclaration, mais connaître sa valeur est une étape préalable.
Pour le déterminer, le rapport approprié est tg 60 ° = 85 / b, puisque b est la jambe adjacente à 60 ° et 85 est l'opposé dudit angle. Donc:
b = 85 / tg 60º = 85 / √3
Une fois que b est connu, nous utiliserons le grand triangle rectangle extérieur, qui a un côté commun avec le triangle précédent: celui qui mesure 85. C'est la jambe opposée à l'angle de 30º..
De là:
Jambe adjacente à 30 ° = (85 / √3) + x
Nous pouvons maintenant proposer ce qui suit:
85 / [(85 / √3) + x] = tg 30º
Ce qui est entre parenthèses se produit pour multiplier la tg 30 °:
85 = [(85 / √3) + x]. tg 30º
Application de la propriété distributive de la multiplication:
85 = tg 30 °. (85 / √3) + x. tg 30º
Donc:
x.tg 30º = 85 - tg 30º. (85 / √3) = 85 [1 - tg 30º. (1 / √3)] = 85. (2/3) = 170/3
En remplaçant la valeur tg 30º = √3 / 3:
x = (170/3) ÷ (√3 / 3) = 98,15
Soit h1 l'hypoténuse de ce triangle, qui peut être calculée par le théorème de Pythagore ou au moyen d'un rapport trigonométrique, par exemple cos 60º:
cos 60 º = 85 / √3 / h1→ h1 = (85 / √3) ÷ cos 60º = 98,1
Pour trouver P, le périmètre de ce triangle, on ajoute simplement les 3 côtés:
P = 85 + (85 / √3) + 98,1 = 232,2
Soit hdeux à l'hypoténuse du triangle extérieur:
sin 30º = 85 ÷ hdeux
hdeux = 85 ÷ sin 30º = 170
Pour ce triangle, le périmètre est:
P = 85 + [(85 / √3) + 98,15] + 170 = 402,22
Nous connaissons déjà tous ses côtés de ce triangle:
P = x + h1 + hdeux = 98,15 + 98,15 + 170 = 366,3
Les rapports trigonométriques ont de nombreuses applications pratiques, par exemple des hauteurs peuvent être calculées.
Supposons qu'un château d'eau soit à 325 pieds d'un bâtiment. Un observateur à une fenêtre remarque que l'angle d'élévation de l'extrémité supérieure de la tour est de 39 °, tandis que l'angle de dépression avec lequel la base de la tour est vue est de 25 °. Il se demande:
a) Quelle est la hauteur de la tour?
b) Quelle est la hauteur de la fenêtre?
De la jambe opposée à 39º du triangle supérieur, nous obtenons une partie de la réponse:
h1/ 325 = tg 39º → h1 = 325. tg 39º pieds = 263,2 pieds
De la même manière, nous obtenons le reste de la hauteur de la tour, appelé hdeux à partir du triangle inférieur:
hdeux/ 325 = tg 25º → hdeux = 325. tg 25º pieds = 151,6 pieds
La hauteur totale de la tour est de h1 + hdeux = 263,2 + 151,6 pieds = 414,7 pieds.
La fenêtre est précisément à une hauteur hdeux du sol:
hdeux = 151,6 pieds.
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