le demi-cercle est une figure plane délimitée par un diamètre de la circonférence et l'un des deux arcs de cercle plats déterminés par ledit diamètre.
De cette façon, un demi-cercle est bordé par un demi-circonférence, qui se compose d'un arc de cercle plat et d'un segment droit qui joint les extrémités de l'arc de cercle plat. Le demi-cercle englobe le demi-cercle et tous les points à l'intérieur..
Nous pouvons le voir sur la figure 1, qui montre un demi-cercle de rayon R, dont la mesure est la moitié de celle du diamètre AB. Notez que contrairement à un cercle, dans lequel il y a des diamètres infinis, dans la demi-circonférence il n'y a qu'un seul diamètre.
Le demi-cercle est une figure géométrique avec de nombreuses utilisations en architecture et en design, comme nous le voyons dans l'image suivante:
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Les éléments d'un demi-cercle sont:
1.- L'arc de cercle plan A⌒B
2.- Le segment [AB]
3.- Les points à l'intérieur du demi-cercle composé de l'arc A⌒B et du segment [AB].
Le périmètre est la somme du contour de l'arc plus celui du segment droit, donc:
Périmètre = longueur de l'arc A⌒B + longueur du segment [AB]
Dans le cas d'un demi-cercle de rayon R, son périmètre P sera donné par la formule:
P = π⋅R + 2⋅R = (π + 2) ⋅R
Le premier terme est la moitié du périmètre d'un cercle de rayon R, tandis que le second est la longueur du diamètre, qui est le double du rayon..
Puisqu'un demi-cercle est l'un des secteurs angulaires plans qui restent lors du dessin d'un diamètre à travers la circonférence, sa zone A sera la moitié de la zone du cercle qui contient le demi-cercle de rayon R:
A = (π⋅Rdeux) / 2 = ½ π⋅Rdeux
Le centre de gravité d'un demi-cercle est sur son axe de symétrie à une hauteur mesurée à partir de son diamètre de 4 / (3π) fois le rayon R.
Cela correspond à environ 0,424⋅R, mesuré à partir du centre du demi-cercle et sur son axe de symétrie, comme le montre la figure 3.
Le moment d'inertie d'une figure plane par rapport à un axe, par exemple l'axe des x, est défini comme:
L'intégrale du carré de la distance des points appartenant à la figure à l'axe, le différentiel d'intégration étant un élément infinitésimal de surface, pris à la position de chaque point.
La figure 4 montre la définition du moment d'inertie IX du demi-cercle de rayon R, par rapport à l'axe X qui passe par sa diagonale:
Le moment d'inertie autour de l'axe x est donné par:
jeX = (π⋅R4) / 8
Et le moment d'inertie par rapport à l'axe de symétrie y est:
Iy = (π⋅R4) / 8
Il est à noter que les deux moments d'inertie coïncident dans leur formule, mais il est important de noter qu'ils se réfèrent à des axes différents.
L'angle inscrit dans le demi-cercle est toujours de 90 °. Quel que soit l'endroit où le point est pris sur l'arc, l'angle formé entre les côtés AB et BC de la figure est toujours droit..
Déterminer le périmètre d'un demi-cercle de rayon 10 cm.
Rappelons que le périmètre en fonction du rayon est donné par la formule que nous avons vue précédemment:
P = (2 + π) ⋅R
P = (2 + 3,14) ⋅ 10 cm = 5,14 ⋅ 10 cm = 51,4 cm.
Trouvez l'aire d'un demi-cercle avec un rayon de 10 cm.
La formule de l'aire d'un demi-cercle est:
A = ½ π⋅Rdeux = ½ π⋅ (10 cm)deux = 50π cmdeux = 50 x 3,14 cmdeux = 157 cmdeux.
Déterminer la hauteur h du centre de gravité d'un demi-cercle de rayon R = 10 cm mesuré à partir de sa base, le diamètre du demi-cercle étant le même.
Le centre de gravité est le point d'équilibre du demi-cercle et sa position est sur l'axe de symétrie à une hauteur h de la base (diamètre du demi-cercle):
h = (4⋅R) / (3π) = (4⋅10 cm) / (3 x 3,14) = 4,246 cm
Trouvez le moment d'inertie d'un demi-cercle par rapport à l'axe qui coïncide avec son diamètre, sachant que le demi-cercle est constitué d'une feuille mince. Son rayon est de 10 cm et sa masse est de 100 grammes.
La formule qui donne le moment d'inertie du demi-cercle est:
jeX = (π⋅R4) / 8
Mais puisque le problème nous dit qu'il s'agit d'un demi-cercle matériel, alors la relation précédente doit être multipliée par la densité surfacique de masse du demi-cercle, qui sera notée σ.
jeX = σ (π⋅R4) / 8
On procède ensuite à la détermination de σ, qui n'est rien d'autre que la masse du demi-cercle divisée par son aire.
La zone a été déterminée dans l'exercice 2 et le résultat était de 157 cmdeux. Ensuite, la densité de surface de ce demi-cercle sera:
σ = 100 grammes / 157 cmdeux = 0,637 g / cmdeux
Ensuite, le moment d'inertie par rapport au diamètre sera calculé comme ceci:
jeX = (0,637 g / cmdeux) [3,1416 pouces (10 cm)4] / 8
Donnant comme résultat:
jeX = 2502 g⋅cmdeux
Déterminer le moment d'inertie d'un demi-cercle de rayon 10 cm constitué d'une feuille de matériau d'une densité surfacique de 0,637 g / cmdeux le long d'un axe passant par son centre de gravité et parallèle à son diamètre.
Pour résoudre cet exercice, il faut se souvenir du théorème de Steiner sur les moments d'inertie d'axes parallèles, qui dit:
Le moment d'inertie I par rapport à un axe situé à une distance h du centre de gravité est égal à la somme du moment d'inertie Ic par rapport à un axe passant par le centre de gravité et parallèle au premier plus le produit de la masse par le carré de la séparation des deux axes.
I = Ic + M hdeux
Dans notre cas, je connais le moment d'inertie par rapport au diamètre, qui a déjà été calculé à l'exercice 4. La séparation h entre le diamètre et le centre de gravité est également connue, qui a été calculée à l'exercice 3.
Nous n'avons qu'à effacer Ic:
jec = I - M hdeux
jec = 2502 g⋅cmdeux - 100 g (4,246 cm)deux il en résulte que le moment d'inertie passant par un axe parallèle au diamètre et passant par le centre de gravité est:
jec = 699,15 g⋅cmdeux
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