Exemples et exercices de la série Power

Ongle série de puissance consiste en une sommation de termes sous forme de puissances de la variable X, ou plus généralement, de x-c, où c est un nombre réel constant. En notation de sommation, une série de puissances est exprimée comme suit:

∑a_n (x -c)ⁿ = a_{ou alors} + à₁ (x - c) + une_deux (x - c)^deux + à₃ (x - c)³ +… + A_n (x - c)ⁿ

Où les coefficients a_{ou alors}, à₁, à_deux… Sont des nombres réels et la série commence à n = 0.

Cette série est axée sur la valeur c ce qui est constant, mais vous pouvez choisir lequel c est égal à 0, auquel cas la série de puissance se simplifie en:

∑a_n Xⁿ = a_{ou alors} + à₁ x + a_deux X^deux + à₃ X³ +… + A_n Xⁿ

La série commence par à_{ou alors}(x-c)⁰ Oui à_{ou alors}X⁰ respectivement. Mais nous savons que:

(x-c)⁰= x⁰ = 1

Donc à_{ou alors}(x-c)⁰ = à_{ou alors}X⁰ = à_{ou alors} (terme indépendant)

L'avantage des séries de puissance est que vous pouvez exprimer des fonctions avec elles et cela présente de nombreux avantages, surtout si vous souhaitez travailler avec une fonction compliquée..

Dans ce cas, au lieu d'utiliser la fonction directement, son expansion en série de puissance est utilisée, ce qui peut être plus facile à dériver, à intégrer ou à travailler numériquement..

Bien entendu, tout est conditionné à la convergence de la série. Une série converge lorsque l'ajout d'un certain nombre de termes donne une valeur fixe. Et si nous ajoutons encore plus de termes, nous continuons à obtenir cette valeur.

Index des articles

• 1 Fonctionne comme Power Series
  • 1.1 Série de puissance géométrique
• 2 Comment trouver l'expansion en série des puissances d'une fonction
• 3 Exercice
  • 3.1 - Exercice résolu 1
  • 3.2 - Exercice résolu 2
• 4 Références

Fonctionne comme Power Series

À titre d'exemple de fonction exprimée en série de puissance, prenons f (x) = e^X.

Cette fonction peut être exprimée en termes d'une série de puissances comme suit:

et^X  ≈ 1 + x + (x^deux / 2!) + (X³ / 3!) + (X⁴ / 4!) + (X⁵ / 5!) +…

Où! = n. (n-1). (n-2). (n-3)… et il en faut 0! = 1.

Nous allons vérifier à l'aide d'une calculatrice, qu'effectivement la série coïncide avec la fonction donnée explicitement. Par exemple, commençons par faire x = 0.

Nous savons que e⁰ = 1. Voyons ce que fait la série:

et⁰ ≈ 1 + 0 + (0^deux / 2!) + (0³ / 3!) + (0⁴ / 4!) + (0⁵ / 5!) +… = 1

Et maintenant essayons avec x = 1. Une calculatrice montre que et¹ = 2,71828, puis comparons avec la série:

et¹ ≈ 1 + 1 + (1^deux / 2!) + (1³ / 3!) + (1⁴ / 4!) + (1⁵ / 5!) +… = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… ≈ 2,7167

Avec seulement 5 termes, nous avons déjà une correspondance exacte dans e ≈ 2,71. Notre série a juste un peu plus à faire, mais à mesure que de nouveaux termes sont ajoutés, la série converge certainement vers la valeur exacte de et. La représentation est exacte quand n → ∞.

Si l'analyse ci-dessus est répétée pour n = 2 des résultats très similaires sont obtenus.

De cette façon, nous sommes sûrs que la fonction exponentielle f (x) = e^X peut être représenté par cette série de puissances:

Série géométrique de puissances

La fonction f (x) = e^X ce n'est pas la seule fonction qui prend en charge une représentation en série de puissance. Par exemple, la fonction  F(x) = 1/1 - x  ressemble beaucoup au célèbre série géométrique convergente:

∑a.rⁿ = a / 1 - r

Il suffit de faire a = 1 et r = x pour obtenir une série adaptée à cette fonction, centrée sur c = 0:

Cependant, on sait que cette série est convergente pour │r│<1, por lo tanto la representación es válida únicamente en el intervalo (-1,1), aunque la función sea válida para todo x, excepto x=1.

Lorsque vous souhaitez définir cette fonction dans un autre intervalle, vous vous concentrez simplement sur une valeur appropriée et vous avez terminé..

Comment trouver l'expansion en série des puissances d'une fonction

Toute fonction peut être développée dans une série de puissances centrée sur c, tant qu'elle a des dérivées de tous les ordres à x = c. La procédure utilise le théorème suivant, appelé Théorème de Taylor:

Soit f (x) une fonction avec des dérivées d'ordre n, dénoté comme F⁽ⁿ⁾, qui admet une extension en série des puissances dans l'intervalle je. Son développement en série taylor c'est:

De manière que:

f (x) = f (c) + f '(c) (x-c) + f "(c) (x-c)^deux / 2 + f "(c) (x-c)³ / 6 +… R_n

Où R_n, qui est le nième terme de la série, est appelé résidu:

Lorsque c = 0, la série est appelée Série Maclaurin.

Cette série donnée ici est identique à la série donnée au début, seulement maintenant nous avons un moyen de trouver explicitement les coefficients de chaque terme, donnés par:

Cependant, il faut s'assurer que la série converge vers la fonction à représenter. Il arrive que toutes les séries de Taylor ne convergent pas nécessairement vers le f (x) qui était envisagé lors du calcul des coefficients à_n.

Cela se produit parce que peut-être les dérivées de la fonction, évaluées dans x = c coïncider avec la même valeur des dérivés d'un autre, également en x = c. Dans ce cas, les coefficients seraient les mêmes, mais l'évolution serait ambiguë car on ne sait pas à quelle fonction il correspond..

Heureusement, il existe un moyen de savoir:

Critère de convergence

Pour éviter toute ambiguïté, si R_n → 0 lorsque n → ∞ pour tout x dans l'intervalle I, la série converge vers f (x).

Exercer

- Exercice résolu 1

Trouvez la série Geometric Power pour la fonction f (x) = 1/2 - x centré sur c = 0.

Solution

La fonction donnée doit être exprimée de manière à coïncider le plus possible avec 1 / 1- x, dont la série est connue. Réécrivons donc le numérateur et le dénominateur, sans modifier l'expression originale:

1/2 - x = (1/2) / [1 - (x / 2)]

Puisque ½ est constant, il sort de la sommation, et il s'écrit en fonction de la nouvelle variable x / 2:

Notez que x = 2 n'appartient pas au domaine de la fonction, et selon le critère de convergence donné dans la section Série de puissance géométrique, l'expansion est valable pour │x / 2│< 1 o equivalentemente -2 < x < 2.

- Exercice résolu 2

Trouvez les 5 premiers termes de l'extension de la série Maclaurin de la fonction f (x) = sin x.

Solution

Étape 1

Les dérivés sont d'abord trouvés:

-Dérivée d'ordre 0: c'est la même fonction f (x) = sin x

-Dérivée première: (sin x) '= cos x

-Dérivée seconde: (sin x) "= (cos x) '= - sin x

-Troisième dérivée: (sin x) "= (-sen x) '= - cos x

-Quatrième dérivée: (sin x) "= (- cos x) '= sin x

Étape 2

Ensuite, chaque dérivée est évaluée à x = c, tout comme une expansion de Maclaurin, c = 0:

sin 0 = 0; cos 0 = 1; - sin 0 = 0; -cos 0 = -1; sin 0 = 0

Étape 3

Les coefficients a sont construits_n;

à_{ou alors} = 0/0! = 0; à₁ = 1/1! = 1; à_deux = 0/2! = 0; à₃ = -1 / 3!; à₄ = 0/4! = 0

Étape 4

Enfin la série est assemblée selon:

sin x ≈ 0.x⁰ + 1 fois¹ + 0 .x^deux - (1/3!) X³ + 0.x⁴… = X - (1/3!)) X³  +...

Le lecteur a-t-il besoin de plus de termes? Combien d'autres, la série se rapproche de la fonction.

Notez qu'il y a un modèle dans les coefficients, le prochain terme non nul est un₅ et tous ceux avec un indice impair sont également différents de 0, en alternant les signes, de sorte que:

sin x ≈ x - (1/3!)) x³  + (1/5!)) X⁵ - (1/7!)) X⁷  +... .

Il est laissé comme exercice pour vérifier qu'il converge, vous pouvez utiliser le critère de quotient pour la convergence en série.

Les références

1. Fondation CK-12. Power Series: représentation des fonctions et opérations. Récupéré de: ck12.org.
2. Engler, A. 2019. Calcul intégral. Université nationale du littoral.
3. Larson, R. 2010. Calcul d'une variable. 9ème. Édition. Mcgraw Hill.
4. Textes gratuits de mathématiques. Série de puissance. Récupéré de: math.liibretexts.org.
5. Wikipédia. Série de puissance. Récupéré de: es.wikipedia.org.