Les vecteurs non coplanaires sont ceux qui ne partagent pas le même avion. Deux vecteurs libres et un point définissent un seul plan. Un troisième vecteur peut partager ou non ce plan et s'il ne le fait pas, ce sont des vecteurs non coplanaires.
Les vecteurs non coplanaires ne peuvent pas être représentés dans des espaces bidimensionnels comme un tableau noir ou une feuille de papier, car certains d'entre eux sont contenus dans la troisième dimension. Pour les représenter correctement, vous devez utiliser la perspective.
Si l'on regarde la figure 1, tous les objets représentés sont strictement dans le plan de l'écran, cependant grâce à la perspective notre cerveau est capable d'imaginer un plan (P) qui en sort..
Sur ce plan (P) se trouvent les vecteurs r, s, ou alors, tandis que les vecteurs v Oui w ils ne sont pas dans cet avion.
Par conséquent, les vecteurs r, s, ou alors ils sont coplanaires ou coplanaires entre eux puisqu'ils partagent le même plan (P). Vecteurs v Oui w ils ne partagent un plan avec aucun des autres vecteurs représentés, ils sont donc non coplanaires.
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Un plan est défini de manière unique si trois points se produisent dans un espace tridimensionnel.
Supposons que ces trois points soient le point À, le point B et le point C qui définissent le plan (P). Avec ces points, il est possible de construire deux vecteurs AB = u Oui AC = v qui sont par construction coplanaires avec le plan (P).
Le produit vectoriel (ou produit croisé) de ces deux vecteurs aboutit à un troisième vecteur perpendiculaire (ou normal) à eux et donc perpendiculaire au plan (P):
n = u X v => n ⊥ ou alors Oui n ⊥ v => n ⊥ (P)
Tout autre point appartenant à l'avion (P) doit satisfaire que le vecteur AQ est perpendiculaire au vecteur n; Cela revient à dire que le produit scalaire (ou produit scalaire) de n avec AQ doit être égal à zéro:
n • AQ = 0 (*)
La condition précédente équivaut à dire que:
AQ • (ou alors X v) = 0
Cette équation garantit que le point Q appartiennent à l'avion (P).
L'équation ci-dessus peut être écrite sous forme cartésienne. Pour cela, nous écrivons les coordonnées des points À, Q et les composants du vecteur normal n:
A = (a, b, c)
Q = (x, y, z)
n= (nx, ny, nz)
Les composants d'AQ sont donc:
AQ= (x-a, y-b, z-c)
La condition du vecteur AQ est contenu dans l'avion (P) est la condition (*) qui s'écrit maintenant comme ceci:
(nx, ny, nz) • (x-a, y-b, z-c) = 0
Le calcul du produit scalaire reste:
nx (x-a) + ny (y-b) + nz (z-b) = 0
S'il est développé et réorganisé, il reste:
nx x + ny y + nz z = nx a + ny b + nz c
L'expression précédente est l'équation cartésienne d'un plan (P), en fonction des composantes d'un vecteur normal à (P) et les coordonnées d'un point À qui appartient à (P).
Comme vu dans la section précédente, la condition AQ • (ou alors X v) = 0 garantit que le vecteur AQ est coplanaire à ou alors Oui v.
Si nous appelons w au vecteur AQ alors nous pouvons affirmer que:
w, ou alors Oui v ils sont coplanaires, si et seulement si w • ( ou alors X v ) = 0.
Si le triple produit (ou produit mixte) de trois vecteurs est différent de zéro, ces trois vecteurs sont non coplanaires.
Oui w • ( ou alors X v ) ≠ 0 alors les vecteurs u, v et w sont non coplanaires.
Si les composantes cartésiennes des vecteurs u, v et w sont introduites, la condition de non-coplanarité peut s'écrire comme ceci:
Le triple produit a une interprétation géométrique et représente le volume du parallélépipède généré par les trois vecteurs non coplanaires.
La raison en est la suivante; Lorsque deux des vecteurs non coplanaires sont multipliés de manière vectorielle, un vecteur est obtenu dont la magnitude est l'aire du parallélogramme qu'ils génèrent.
Ensuite, lorsque ce vecteur est multiplié de manière scalaire par le troisième vecteur non coplanaire, nous avons la projection sur un vecteur perpendiculaire au plan déterminé par les deux premiers multipliés par l'aire qu'ils déterminent..
Autrement dit, nous avons l'aire du parallélogramme générée par les deux premiers multipliée par la hauteur du troisième vecteur.
Si vous avez trois vecteurs et qu'aucun d'entre eux ne peut être écrit comme une combinaison linéaire des deux autres, alors les trois vecteurs sont non coplanaires. C'est trois vecteurs ou alors, v Oui w sont non coplanaires si la condition:
α ou alors + β v + γ w = 0
Elle n'est remplie que lorsque α = 0, β = 0 et γ = 0.
Il y a trois vecteurs
ou alors = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) et w = (-1, 2, z)
Notez que la composante z du vecteur w C'est inconnu.
Trouvez la plage de valeurs que z peut prendre de manière à garantir que les trois vecteurs ne partagent pas le même plan.
w • ( ou alors X v ) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18
Nous définissons cette expression égale à la valeur zéro
21 z + 18 = 0
et nous résolvons pour z
z = -18 / 21 = -6/7
Si la variable z prenait la valeur -6/7 alors les trois vecteurs seraient coplanaires.
Ainsi, les valeurs de z qui garantissent que les vecteurs ne sont pas coplanaires sont celles de l'intervalle suivant:
z ∈ (-∞, -6 / 7) U (-6/7, ∞)
Trouvez le volume du parallélépipède illustré dans la figure suivante:
Pour trouver le volume du parallélépipède représenté sur la figure, les composantes cartésiennes de trois vecteurs non coplanaires simultanés à l'origine du système de coordonnées seront déterminées. Le premier est le vecteur ou alors 4m et parallèle à l'axe X:
ou alors= (4, 0, 0) m
Le second est le vecteur v dans le plan XY de taille 3m formant 60º avec l'axe X:
v= (3 * cos 60º, 3 * sin 60º, 0) = (1,5, 2,6, 0,0) m
Et le troisième le vecteur w de 5m et dont la projection dans le plan XY forme 60º avec l'axe X, en plus w forme 30º avec l'axe Z.
w= (5 * sin 30º * cos 60º, 5 * sin 30º * sin 60º, 5 * sin 30º)
Une fois les calculs effectués, nous avons: w= (1,25, 2,17, 2,5) m.
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