Les polygones réguliers sont ceux qui ont tous leurs côtés et leurs angles internes égaux. Dans la figure suivante, il y a un ensemble de différents polygones, qui sont des figures planes limitées par une courbe fermée et seuls ceux qui sont mis en évidence remplissent les conditions pour être réguliers.
Par exemple, le triangle équilatéral est un polygone régulier, puisque ses trois côtés mesurent la même chose, ainsi que ses angles internes, qui valent 60 ° chacun..
Le carré est un quadrilatère à quatre côtés d'égale mesure et dont les angles internes sont de 90 °. Il est suivi du pentagone régulier, avec cinq côtés de taille égale et cinq angles internes de 108º chacun..
Lorsqu'un polygone est régulier, ce mot est ajouté à son nom spécial, nous avons donc l'hexagone régulier, l'heptagone régulier et ainsi de suite.
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Les propriétés les plus importantes des polygones réguliers peuvent être résumées comme suit:
-Les côtés mesurent la même chose, donc ils sont équilatéral.
-Ils sont équiangle, puisque tous ses angles internes ont la même mesure.
-Ils peuvent toujours être inscrits dans une circonférence, ce qui signifie qu'ils s'intègrent parfaitement dans un, qui est appelé circonférence circonscrite.
-Pour un polygone régulier à n côtés, la mesure d'un angle intérieur α est:
α = [180 (n-2)] / n
-Vous pouvez dessiner n (n-3) / 2 diagonales à partir des sommets d'un polygone, qu'il soit régulier ou non.
-La somme des angles extérieurs est égal à 360 °.
Ensuite, nous présentons les principaux éléments d'un polygone régulier, visualisés dans la figure ci-dessous.
Point commun de deux côtés consécutifs, noté V sur la figure.
C'est le segment qui joint deux sommets consécutifs du polygone et est noté ℓ ou L.
Segment qui joint deux sommets non consécutifs du polygone, dans la figure, il est noté ré.
C'est le centre commun du cercle inscrit et du cercle circonscrit, désigné par la lettre O. Il peut également être considéré comme le seul point équidistant des sommets et des milieux de chaque côté..
C'est la radio r du cercle circonscrit et coïncide avec la distance entre O et un sommet.
Est appelé apothème au rayon de la circonférence inscrit dans le polygone, représenté sur la figure par une lettre à. L'apothème est perpendiculaire à un côté et le joint au centre O (segment rouge sur la figure 3).
Connaissant le rayon r et la longueur du côté, l'apothème est calculé par:
Puisque, en effet, l'apothème est l'une des jambes d'un triangle rectangle (voir figure 3), l'autre jambe étant la valeur de ℓ / 2 (la moitié d'un côté) et l'hypoténuse le rayon r du polygone.
Lorsque le théorème de Pythagore est appliqué audit triangle, cette équation est obtenue, qui est valable non seulement pour l'hexagone, mais pour tout polygone régulier.
C'est l'angle dont le sommet coïncide avec le centre O et dont les côtés sont les segments qui rejoignent le centre avec deux sommets consécutifs. Sa mesure en degrés sexagésimaux est de 360 ° / n, où n est le nombre de côtés du polygone.
C'est la différence entre le rayon du polygone et l'apothème (voir figure 3). Dénotant la sagitta comme S:
S = r - a
Il se calcule facilement en additionnant les longueurs des côtés. Comme tout côté a la même longueur L et qu'il y a n côtés, le périmètre P est exprimé comme suit:
P = n.L
Dans un polygone régulier, l'aire A est donnée par le produit entre le demi-périmètre (la moitié du périmètre) et la longueur de l'apothème à.
A = P.a / 2
Puisque le périmètre dépend du nombre de côtés n, il s'avère que:
A = (nL) .a / 2
Deux polygones réguliers peuvent avoir le même périmètre même s'ils n'ont pas le même nombre de côtés, car cela dépendrait alors de la longueur des côtés.
Dans le livre V de son Collection, le mathématicien Pappus d'Alexandrie (290-350), le dernier des grands mathématiciens de la Grèce antique, a montré que parmi tous les polygones réguliers de même périmètre, celui avec la plus grande surface est celui avec le plus grand nombre de côtés.
La figure 4 montre les angles pertinents dans un polygone régulier, désignés par les lettres grecques α, β et γ.
Auparavant, nous avons mentionné l'angle central, entre les éléments du polygone régulier, c'est l'angle dont le sommet est au centre du polygone et les côtés sont les segments qui rejoignent le centre avec deux sommets consécutifs.
Pour calculer la mesure de l'angle central α, divisez 360 ° par n, le nombre de côtés. Ou 2π radians entre n:
α = 360º / n
Équivalent en radians à:
α = 2π / n
Sur la figure 4, l'angle interne β est celui dont le sommet coïncide avec l'une des figures et ses côtés sont également des côtés de la figure. Il est calculé en degrés sexagésimaux par:
β = [180 (n-2)] / n
Ou en radians en utilisant:
β = [π (n-2)] / n
Ils sont désignés par la lettre grecque γ. La figure montre que γ + β = 180º. Donc:
γ = 180º - β
La somme de tous les angles externes d'un polygone régulier est de 360 °.
Ensuite, nous avons les 8 premiers polygones réguliers. On observe qu'au fur et à mesure que le nombre de côtés augmente, le polygone ressemble de plus en plus à la circonférence dans laquelle ils sont inscrits.
On peut imaginer qu'en rendant la longueur des côtés de plus en plus petite, et en augmentant le nombre de ceux-ci, on obtient la circonférence.
Les polygones réguliers se retrouvent partout dans la vie quotidienne et même dans la nature. Regardons quelques exemples:
Les polygones réguliers tels que les triangles équilatéraux, les carrés et les losanges abondent dans la signalisation que nous voyons sur les autoroutes et les routes. Sur la figure 6, nous voyons un panneau d'arrêt de forme octogonale.
D'innombrables meubles ont le carré, par exemple, comme figure géométrique caractéristique, tout comme de nombreuses tables, chaises et bancs sont carrés. Un parallélépipède est généralement une boîte avec des côtés en forme de rectangle (qui n'est pas un polygone régulier), mais ils peuvent également être rendus carrés..
Les carreaux sur les sols et les murs, à la fois dans les maisons et dans les rues, ont souvent la forme de polygones réguliers..
Les tessellations sont des surfaces entièrement recouvertes de carreaux de formes géométriques différentes. Avec le triangle, le carré et l'hexagone vous pouvez faire des pavages réguliers, ceux qui n'utilisent qu'un seul type de figure pour couvrir parfaitement, sans laisser d'espaces vides (voir figure 6).
De même, les bâtiments utilisent des polygones réguliers dans des éléments tels que les fenêtres et la décoration..
Étonnamment, l'hexagone régulier est un polygone qui apparaît fréquemment dans la nature..
Les rayons fabriqués par les abeilles pour stocker le miel ont une forme très proche d'un hexagone régulier. Comme l'a observé Pappus d'Alexandrie, les abeilles optimisent ainsi l'espace pour stocker autant de miel que possible..
Et il y a aussi des hexagones réguliers dans la carapace des tortues et des flocons de neige, qui adoptent également diverses très belles formes géométriques..
Un hexagone régulier est inscrit dans un demi-cercle de rayon 6 cm, comme indiqué sur la figure. Quelle est la valeur de la zone ombrée?
La zone ombrée est la différence entre l'aire du demi-cercle de rayon R = 6 cm et l'aire de l'hexagone entier, un polygone régulier à 6 côtés. Nous aurons donc besoin de formules pour la surface de chacun de ces chiffres.
À1 = π Rdeux / 2 = π (6 cm)deux / 2 = 18π cmdeux
La formule pour calculer l'aire d'un polygone régulier est:
A = P.a / 2
Où P est le périmètre et à est l'apothème. Puisque le périmètre est la somme des côtés, nous aurons besoin de la valeur de ceux-ci. Pour l'hexagone régulier:
P = 6ℓ
Donc:
A = 6ℓa / 2
Pour trouver la valeur du côté ℓ il faut construire des figures auxiliaires, que nous expliquerons ci-dessous:
Commençons par le petit triangle rectangle à gauche, dont l'hypoténuse est ℓ. Un angle interne de l'hexagone est égal à:
α = [180 (n-2)] / n = α = [180 (6-2)] / 6 = 120 °
Le rayon que nous avons dessiné en vert coupe cet angle en deux, donc l'angle aigu du petit triangle est de 60 °. Avec les informations fournies, ce triangle est résolu, trouvant le côté bleu clair, qui mesure le même que l'apothème:
Jambe opposée = a = ℓ x sin 60º = ℓ√3 / 2 cm
Cette valeur c'est le double de la jambe bleu foncé du grand triangle de droite, mais de ce triangle on sait que l'hypoténuse mesure 6 cm car c'est le rayon du demi-cercle. La jambe restante (en bas) est égale à ℓ / 2 puisque le point O est au milieu du côté.
Puisque les angles intérieurs de ce triangle ne sont pas connus, nous pouvons énoncer le théorème de Pythagore pour celui-ci:
36 = 3 ℓdeux + ℓdeux / 4
(13/4) ℓdeux = 36 → ℓ = √ (4 x36) / 13 cm = 12 / √13 cm
Avec cette valeur, l'apothème est calculé:
a = ℓ√3 / 2 cm = (12 / √13) x (√3 / 2) cm = 6√3 / √13 cm
Appelonsdeux à la zone de l'hexagone régulier:
= 28,8 cmdeux
À1 - Àdeux = 18π cmdeux - 28,8 cmdeux = 27,7 cmdeux
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