Le théorème de Varignon, en mécanique, affirme que la somme des moments produits par un système de forces concurrentes par rapport à un certain point est égale au moment de la force résultante par rapport au même point.
Pour cette raison, ce théorème est également connu sous le nom de le début des moments.
Bien que le premier à l'énoncer fut le Néerlandais Simon Stevin (1548-1620), le créateur du paradoxe hydrostatique, le mathématicien français Pierre Varignon (1654-1722) fut celui qui lui donna plus tard sa forme définitive..
Un exemple du fonctionnement du théorème de Varignon en mécanique est le suivant: supposons qu'un simple système de deux forces coplanaires et concurrentes agit sur un point F1 Oui Fdeux, (indiqués en gras en raison de leur caractère vectoriel). Ces forces donnent naissance à une force nette ou résultante, appelée FR.
Chaque force exerce un couple ou un moment autour d'un point O, qui est calculé par le produit vectoriel entre le vecteur de position rOP et la force F, où rOP est dirigé de O au point de concurrence P:
MO1 = rOP × F1
MO2 = rOP × Fdeux
Étant donné que FR = F1 + Fdeux, ensuite:
MOU ALORS = rOP × F1 + rOP × Fdeux = MO1 + MO2
Mais comment rOP est un facteur commun, alors, appliquant la propriété distributive au produit croisé:
MOU ALORS = rOP × (F1 + Fdeux) = rOP × FR
Par conséquent, la somme des moments ou couples de chaque force par rapport au point O est équivalente au moment de la force résultante par rapport au même point.
Soit un système de N forces concurrentes, formé par F1, Fdeux, F3... FN, dont les lignes d'action se croisent au point P (voir figure 1), le moment de ce système de force MOU ALORS, par rapport à un point O est donné par:
MOU ALORS = rOP × F1 + rOP × Fdeux + rOP × F3 +... rOP × FN = rOP × (F1 + Fdeux + F3 +... FN)
Pour prouver le théorème, on utilise la propriété distributive du produit vectoriel entre vecteurs.
Soyez les forces F1, Fdeux, F3... FN appliqué aux points A1, Àdeux, À3… ÀN et concurrente au point P. Le moment résultant de ce système, par rapport à un point O, appelé MOU ALORS, est la somme des moments de chaque force, par rapport audit point:
MOU ALORS = ∑ rOAi × Fje
Où la somme va de i = 1 à i = N, puisqu'il y a N forces. Comme nous avons affaire à des forces concurrentes et que le produit vectoriel entre vecteurs parallèles est nul, il arrive que:
rPAi × Fje = 0
Avec le vecteur nul noté 0.
Le moment d'une des forces par rapport à O, par exemple celui de la force Fje appliqué en Aje, ça s'ecrit comme ça:
MJ'ai entendu = rOAi × Fje
Le vecteur de position rOAi peut être exprimé comme la somme de deux vecteurs de position:
rOAi = rOP + rPAi
De cette façon, le moment sur O de la force Fje c'est:
MJ'ai entendu = (rOP + rPAi) × Fje = (rOP × Fje) + (rPAi × Fje)
Mais le dernier terme est nul, comme expliqué ci-dessus, car rPAi est sur la ligne d'action de Fje, donc:
MJ'ai entendu = rOP × Fje
Sachant que le moment du système par rapport au point O est la somme de tous les moments individuels de chaque force par rapport audit point, alors:
MOU ALORS = ∑ MJ'ai entendu = ∑ rOP × Fje
Quoi rOP est constante sort de la somme:
MOU ALORS = rOP × (∑ Fje)
Mais ∑ Fje est simplement la force nette ou la force résultante FR, il est donc immédiatement conclu que:
MOU ALORS = rOP × FR
Le théorème de Varignon facilite le calcul du moment de force F Par rapport au point O de la structure représentée sur la figure, si la force est décomposée en ses composantes rectangulaires et que le moment de chacune d'elles est calculé:
Lorsque la force résultante d'un système est connue, le théorème de Varignon peut être appliqué pour remplacer la somme de chacun des moments produits par les forces qui le composent par le moment de la résultante.
Si le système se compose de forces sur le même plan et que le point par rapport auquel le moment doit être calculé appartient à ce plan, le moment résultant est perpendiculaire.
Par exemple, si toutes les forces sont dans le plan xy, le moment est dirigé dans l'axe z et il ne reste plus qu'à trouver sa grandeur et son sens, tel est le cas de l'exemple décrit ci-dessus.
Dans ce cas, le théorème de Varignon nous permet de calculer le moment résultant du système à travers la sommation. Il est très utile dans le cas d'un système de force tridimensionnel, pour lequel la direction du moment résultant n'est pas connue a priori.
Pour résoudre ces exercices, il est pratique de décomposer les forces et de positionner les vecteurs en leurs composantes rectangulaires, et à partir de la somme des moments, de déterminer les composantes du moment net.
En utilisant le théorème de Varignon, calculez le moment de la force F autour du point O indiqué sur la figure si la magnitude de F est 725 N.
Pour appliquer le théorème de Varignon, décomposez la force F en deux composantes, dont les moments respectifs autour de O sont calculés et additionnés pour obtenir le moment résultant.
FX = 725 N ∙ cos 37 º = 579,0 N
FOui = - 725 N N ∙ sin 37 º = −436,3 N
De même, le vecteur de position r dirigé de O vers A a les composants:
rX = 2,5 m
rOui = 5,0 m
Le moment de chaque composante de la force autour de O se trouve en multipliant la force et la distance perpendiculaire.
Les deux forces ont tendance à faire tourner la structure dans le même sens, qui dans ce cas est dans le sens des aiguilles d'une montre, auquel un signe positif est arbitrairement attribué:
MBœuf = FX∙ rOui ∙ sin 90º = 579,0 N ∙ 5,0 m = 2895 N ∙ m
MOy = FOui∙ rX ∙ sin (−90º) = −436,3 N ∙ 2,5 m ∙ (−1) = 1090,8 N ∙ m
Le moment résultant à propos de O est:
MOU ALORS = MBœuf + MOy = 3985,8 N ∙ m perpendiculaire au plan et dans le sens des aiguilles d'une montre.
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