UNE triangle équilatéral c'est un polygone à trois côtés, où tous sont égaux; c'est-à-dire qu'ils ont la même mesure. Pour cette caractéristique, on lui a donné le nom d'équilatéral (côtés égaux).
Les triangles sont des polygones considérés comme les plus simples en géométrie, car ils sont composés de trois côtés, trois angles et trois sommets. Dans le cas du triangle équilatéral, puisqu'il a des côtés égaux, cela implique que ses trois angles seront également égaux..
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Les triangles équilatéraux sont des figures plates et fermées, constituées de trois segments de ligne. Les triangles sont classés selon leurs caractéristiques, par rapport à leurs côtés et angles; l'équilatérale a été classée en utilisant la mesure de ses côtés comme paramètre, puisque ceux-ci sont exactement les mêmes, c'est-à-dire qu'ils sont congruents.
Le triangle équilatéral est un cas particulier du triangle isocèle car deux de ses côtés sont congruents. C'est pourquoi tous les triangles équilatéraux sont également isocèles, mais tous les triangles isocèles ne seront pas équilatéraux.
De cette manière, les triangles équilatéraux ont les mêmes propriétés qu'un triangle isocèle..
Les triangles équilatéraux peuvent également être classés par la largeur de leurs angles intérieurs comme un triangle aigu équilatéral, qui a trois côtés et trois angles intérieurs avec la même mesure. Les angles seront aigus, c'est-à-dire qu'ils seront inférieurs à 90ou alors.
Les triangles en général ont plusieurs lignes et points qui le composent. Ils sont utilisés pour calculer l'aire, les côtés, les angles, la médiane, la bissectrice, la bissectrice et la hauteur..
Dans le graphique suivant, nous voyons un triangle scalène où certaines des composantes mentionnées sont détaillées
La bissectrice divise le côté d'un triangle en deux parties. Dans les triangles équilatéraux, ce côté sera divisé en deux parties exactement égales, c'est-à-dire que le triangle sera divisé en deux triangles rectangles congruents.
Ainsi, la bissectrice tirée de n'importe quel angle d'un triangle équilatéral coïncide avec la médiane et la bissectrice du côté opposé à cet angle..
Exemple:
La figure suivante montre le triangle ABC avec un point médian D qui divise l'un de ses côtés en deux segments AD et BD.
En traçant une ligne du point D au sommet opposé, on obtient par définition la médiane CD, qui est relative au sommet C et au côté AB.
Puisque le segment CD divise le triangle ABC en deux triangles égaux CDB et CDA, cela signifie que le cas de congruence sera eu: côté, angle, côté et donc CD sera également la bissectrice de BCD.
Le segment de traçage CD divise l'angle au sommet en deux angles égaux de 30ou alors, l'angle du sommet A mesure encore 60ou alors et la ligne CD forme un angle de 90ou alors par rapport au milieu D.
Le segment CD forme des angles qui ont la même mesure pour les triangles ADC et BDC, c'est-à-dire qu'ils sont complémentaires de telle sorte que la mesure de chacun sera:
Méd. (ADB) + Méd. (ADC) = 180ou alors
deux * Méd. (ADC) = 180ou alors
Méd. (ADC) = 180ou alors ÷ 2
Méd. (ADC) = 90ou alors.
Et donc, nous avons ce segment CD est aussi la bissectrice du côté AB.
En tirant la bissectrice du sommet d'un angle au milieu du côté opposé, il divise le triangle équilatéral en deux triangles congruents.
De telle manière qu'un angle de 90 est forméou alors (droite). Cela indique que ce segment de ligne est totalement perpendiculaire à ce côté et que, par définition, cette ligne serait la hauteur.
De cette manière, la bissectrice de tout angle d'un triangle équilatéral coïncide avec la hauteur par rapport au côté opposé de cet angle..
Comme la hauteur, la médiane, la bissectrice et la bissectrice sont représentées par le même segment en même temps, dans un triangle équilatéral, les points de rencontre de ces segments - orthocentre, bissectrice, incitateur et circoncentrique - se trouveront au même point:
La propriété principale des triangles équilatéraux est qu'ils seront toujours des triangles isocèles, puisque les isocèles sont formés de deux côtés congruents et équilatéraux de trois..
De cette façon, les triangles équilatéraux ont hérité de toutes les propriétés du triangle isocèle:
La somme des angles intérieurs est toujours égale à 180ou alors, et puisque tous ses angles sont congruents, chacun d'eux mesurera 60ou alors.
La somme des angles extérieurs sera toujours égale à 360ou alors, donc chaque angle extérieur mesurera 120ou alors. En effet, les angles interne et externe sont supplémentaires, c'est-à-dire que lors de leur ajout, ils seront toujours égaux à 180ou alors.
La somme des mesures de deux côtés doit toujours être supérieure à la mesure du troisième côté, c'est-à-dire a + b> c, où a, b et c sont les mesures de chaque côté.
Les triangles équilatéraux ont les trois côtés avec la même mesure ou longueur; c'est-à-dire qu'ils sont congruents. Par conséquent, dans l'élément précédent, nous avons que a = b = c.
Les triangles équilatéraux sont également appelés triangles équiangulaires, car leurs trois angles intérieurs sont congruents les uns avec les autres. C'est parce que tous ses côtés ont également la même mesure.
Le périmètre d'un polygone est calculé en ajoutant les côtés. Comme dans ce cas le triangle équilatéral a tous ses côtés avec la même mesure, son périmètre est calculé avec la formule suivante:
P = 3 * côté.
Puisque la hauteur est la ligne perpendiculaire à la base, elle la divise en deux parties égales en s'étendant jusqu'au sommet opposé. Voici comment se forment deux triangles rectangles égaux.
La hauteur (h) représente la jambe opposée (a), la moitié du côté AC à la jambe adjacente (b) et le côté BC représente l'hypoténuse (c).
En utilisant le théorème de Pythagore, la valeur de la hauteur peut être déterminée:
àdeux + bdeux = cdeux
Où:
àdeux = hauteur (h).
bdeux = côté b / 2.
cdeux = côté a.
En substituant ces valeurs dans le théorème de Pythagore et en résolvant la hauteur, nous avons:
hdeux + ( l / deux)deux = ldeux
hdeux + ldeux/ 4 = ldeux
hdeux = ldeux - ldeux/ 4
hdeux = (4*ldeux - ldeux) / 4
hdeux = 3*ldeux /4
√hdeux = √ (3*ldeux /4)
Si l'angle formé par les côtés congruents est connu, la hauteur (représentée par une jambe) peut être calculée en appliquant les rapports trigonométriques.
Les jambes sont dites opposées ou adjacentes selon l'angle pris comme référence..
Par exemple, dans la figure ci-dessus, la jambe h sera opposée pour l'angle C, mais adjacente à l'angle B:
Ainsi, la hauteur peut être calculée avec:
Il y a des cas où les mesures des côtés du triangle ne sont pas connues, mais leur hauteur et les angles formés aux sommets.
Pour déterminer la zone dans ces cas, il est nécessaire d'appliquer les rapports trigonométriques.
Connaissant l'angle de l'un de ses sommets, les jambes sont identifiées et le rapport trigonométrique correspondant est utilisé:
Ainsi, la jambe AB sera opposée pour l'angle C, mais adjacente à l'angle A. Selon le côté ou la jambe correspondant à la hauteur, l'autre côté est dégagé pour obtenir sa valeur, sachant que dans un triangle équilatéral les trois côtés auront toujours la même mesure.
L'aire des triangles est toujours calculée avec la même formule, en multipliant la base par la hauteur et en divisant par deux:
Aire = (b * h) ÷ 2
Sachant que la hauteur est donnée par la formule:
Les côtés d'un triangle équilatéral ABC mesurent 20 cm chacun. Calculez la hauteur et l'aire de ce polygone.
Pour déterminer l'aire de ce triangle équilatéral, il faut calculer la hauteur, sachant qu'en le dessinant, on divise le triangle en deux triangles rectangles égaux.
De cette façon, le théorème de Pythagore peut être utilisé pour le trouver:
àdeux + bdeux = cdeux
Où:
a = 20/2 = 10 cm.
b = hauteur.
c = 20 cm.
Les données sont substituées dans le théorème:
dixdeux + bdeux = 20deux
100 cm + bdeux = 400 cm
bdeux = (400 à 100) cm
bdeux = 300 cm
b = √300 cm
b = 17,32 cm.
Autrement dit, la hauteur du triangle est égale à 17,32 cm. Il est maintenant possible de calculer l'aire du triangle donné en remplaçant dans la formule:
Aire = (b * h) ÷ 2
Aire = (20 cm * 17,32 cm) ÷ 2
Superficie = 346,40 cmdeux ÷ 2
Superficie = 173,20 cmdeux.
Une autre façon plus simple de résoudre l'exercice consiste à substituer les données dans la formule directe pour la zone, où la valeur de la hauteur est également trouvée implicitement:
Les fleurs seront plantées sur un terrain en forme de triangle équilatéral. Si le périmètre de ce terrain est égal à 450 m, calculez le nombre de mètres carrés que les fleurs occuperont.
Sachant que le périmètre d'un triangle correspond à la somme de ses trois côtés et que le terrain a la forme d'un triangle équilatéral, les trois côtés de celui-ci auront la même mesure ou longueur:
P = côté + côté + côté = 3 * l
3 * l = 450 m.
l = 450 m ÷ 3
l = À 150 m.
Maintenant, il suffit de calculer la hauteur de ce triangle.
La hauteur divise le triangle en deux triangles rectangles congruents, où une jambe représente la hauteur et l'autre moitié la base. Par le théorème de Pythagore, la hauteur peut être déterminée:
àdeux + bdeux = cdeux
Où:
à = 150 m ÷ 2 = 75 m.
c = 150 m.
b = hauteur
Les données sont substituées dans le théorème:
(75 m)deux + bdeux = (150 m)deux
5 625 m + bdeux = 22 500 m
bdeux = 22 500 m - 5 625 m
bdeux = 16 875 m
b = √16,875 m
b = 129,90 m.
Ainsi, la surface qu'occuperont les fleurs sera:
Aire = b * h ÷ 2
Superficie = (150 m * 129,9 m) ÷ 2
Superficie = (19 485 mdeux) ÷ 2
Superficie = 9 742,5 mdeux
Le triangle équilatéral ABC est divisé par un segment de droite qui va de son sommet C au milieu D, situé du côté opposé (AB). Ce segment mesure 62 mètres. Calculez l'aire et le périmètre de ce triangle équilatéral.
Sachant que le triangle équilatéral est divisé par un segment de droite qui correspond à la hauteur, formant ainsi deux triangles rectangles congruents, celui-ci divise également l'angle du sommet C en deux angles de même mesure, 30ou alors chacun.
La hauteur forme un angle de 90ou alors par rapport au segment AB, et l'angle du sommet A mesurera alors 60ou alors.
Puis en utilisant l'angle de 30 comme référenceou alors, la hauteur CD est définie comme la jambe adjacente à l'angle et BC comme l'hypoténuse.
À partir de ces données, la valeur de l'un des côtés du triangle peut être déterminée, en utilisant les rapports trigonométriques:
Puisque dans le triangle équilatéral tous les côtés ont exactement la même mesure ou longueur, cela signifie que chaque côté du triangle équilatéral ABC est égal à 71,6 mètres. Sachant cela, il est possible de déterminer sa superficie:
Aire = b * h ÷ 2
Superficie = (71,6 m * 62 m) ÷ 2
Superficie = 4438,6 mdeux ÷ 2
Superficie = 2219,3 mdeux
Le périmètre est donné par la somme de ses trois côtés:
P = côté + côté + côté = 3 * l
P = 3*l
P = 3 * 71,6 mètres
P = 214,8 m.
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